(教案)1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离 学习任务目标 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面的距离问题．(直观想象) 2．能用向量方法解决相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．(数学运算) (1)向量a在向量b方向上的投影模长为|a|·cos〈a，b〉＝|a|·＝； (2)向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉×. 知识点一　直线外一点到直线的距离 如图，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. [微训练] 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　) A． B． C． D． B　解析：建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)． 所以点A到直线BE的距离为＝＝. 知识点二　点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝. [微训练] 1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． D　解析：＝(1,2,－4)．又平面α的一个法向量为n＝(－2,－2,1)，所以P到α的距离为＝＝. 2．在空间直角坐标系中，平面OAB的一个法向量为n＝(2,－2,1)．已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 C　解析：点P到平面OAB的距离d＝＝＝2. 知识点三　用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； 2．通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； 3．把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 利用空间向量求点到直线的距离 1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A. B．1 C． D．2 A　解析：因为A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，所以＝(1,0,0)，＝(－1,2，－2)． 所以点A到直线BC的距离为 d＝＝＝.故选A. 2．已知直线l的方向向量为m＝(1，，－1)．若点P(－1,1，－1)为直线l外一点，A(4,1，－2)为直线l上一点，则点P到直线l的距离为________. 　解析：因为m＝(1，，－1)，所以＝. 因为P(－1,1，－1)，A(4,1，－2)，所以＝(5,0，－1)．所以点P到直线l上的距离为＝＝. 利用空间向量求点到平面的距离 【例1】(1)已知点M(0,1，－2)，平面α过原点，且垂直于向量n＝(1，－2,2)，则点M到平面α的距离为(　　) A． B．2 　 C．6 D． (2)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离． (1)B　解析：由题可知点M到平面α的距离即为在n的投影长度． 因为M(0,1，－2)，所以＝(0,1，－2)． 所以·n＝0×1＋1×(－2)＋(－2)×2＝－6， |n|＝＝3. 所以点M到平面α的距离为＝＝2.故选B. (2)解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向(图略)，建立的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，所以＝(0,1,0)，＝(－2,1,1)，＝(－1，－1,2)．设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，则所以取z＝1，得n＝(1,1,1)，所以d＝＝＝，即点A到平面EFG的距离为. 如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0＜λ＜2)．设点N为ME的中点，求点N到平面D1EF的距离． 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 则M(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)， ＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，＝(0，λ，1)． 设平面D1EF的法向量n＝(x，y，z)，则 取x＝1，得n＝(1,0,2)为平面D1EF的一个法向量． 所以点M到平面D1EF的距离d＝＝＝，N为EM的中点，所以点N到平面