(教案)1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 学习任务目标 1．能用向量语言描述直线和平面．(数学抽象) 2．理解直线的方向向量和平面的法向量，会求一个平面的法向量．(直观想象、数学运算) (1)设平面中直线l1的方向向量为a＝(－1,2)，直线l2的方向向量为b＝(1，m)．若l1⊥l2，则m＝________. 　解析：因为l1⊥l2，所以－1＋2m＝0.所以m＝. (2)设A是平面内任意一点，n为任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的轨迹是过点A且与向量n垂直的直线． 知识点一　空间中点的向量表示 在空间中，我们取一定点O作为基底，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 知识点二　用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线l的方向向量) 形式 在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t 取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t. [微训练] 若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1) A　解析：＝(2,4,6)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．故选A. 知识点三　用向量表示平面的位置 (1)通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定： 条件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 形式 对于平面α内任意一点P，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb 取定空间任意一点O，可以得到空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y. (2)通过平面α上的一个定点A和法向量来确定： 平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量a叫做平面α的法向量 确定平面位置 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{p|a·＝0} [微训练] 已知平面α内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为(　　) A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1) C　解析：显然a与b不平行，设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 所以 令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以n＝(－2,1,1)． 空间中直线的方向向量 【例1】如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，以{a，b，c}为空间的一个基底． (1)求直线AP的一个方向向量； (2)求直线AN的一个方向向量； (3)求直线MP的一个方向向量． 解：(1)∵＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋b， ∴直线AP的一个方向向量为a＋c＋b. (2)∵＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c， ∴直线A1N的一个方向向量为－a＋b＋c. (3)∵＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋b， ∴直线MP的一个方向向量为a＋c＋b. 1．若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A． B． C． D． A　解析：因为A，B，所以＝(1,2,3)为直线l的一个方向向量，故所有与共线的向量都可以是直线l的方向向量．故选A. 2．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z＝(　　)　 A．0 B．1 C． D．3 A　解析：A(0，y,3)和B(－1,2，z)，＝(－1,2－y，z－3)． 因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)，所以可设＝km. 所以－1＝2k,2－y＝－k，z－3＝3k， 解得k＝－，y＝＝z. 所以y－z＝0.故选A. 平面的法向量 直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线． 探究1：表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直？ 提示：垂直．因为这些直线与l平行或重合． 探究2：直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直？ 提示：垂直． 【例2】已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2，0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一个法向量． 解：因为平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， 所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)． 设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有 即 解得z＝0，令y＝1，得x＝2， 所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)． 【例3】已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，S