(教案)1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

第3课时　空间中直线、平面的垂直 学习任务目标 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象) 2．能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的垂直的有关判定定理．(逻辑推理) (1)若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则两向量之间的位置关系是________. 平行　解析：因为a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，所以n＝－2a，即n∥a. (2)已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,2,3)，b＝(x，－2,3)垂直，则x＝________. －5　解析：因为a⊥b， 所以a·b＝x－4＋9＝0， 所以x＝－5. 知识点一　线线垂直 如图，设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 知识点二　线面垂直 如图，设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 知识点三　面面垂直 如图，设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. [微训练] 1．已知直线l的方向向量是a＝(2，－4,2)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α D　解析：因为a＝－2u，所以a∥u， 所以l⊥α，故选A. 2．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________. 垂直　解析：u1·u2＝0，则α⊥β. 利用空间向量判断位置关系 1．若d＝(4,2,3)是直线l的方向向量，n＝(－1，3,0)是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．直线l在平面α内 D．相交但不垂直 D　解析：显然d与n不平行，因此直线l与平面α不垂直．又d·n＝4×(－1)＋2×3＋3×0＝2，即d与n不垂直，从而直线l与平面α不平行，故直线l与平面α相交但不垂直．故选D. 2．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则直线PA与底面ABCD的关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角 B　解析：依题意得＝－＝(1，－2,1)，而·＝2＋2－4＝0，·＝4－4＋0＝0，所以PA⊥AB，PA⊥AD，而AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.故选B. 应用空间向量证明线线、线面垂直 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC. 探究1：你有哪些方法证明EF⊥平面AB1C? 提示：(1)基向量法：选取基向量，表示出及平面AB1C内的相交向量，证明与之垂直； (2)坐标法：①法向量法：证明平面AB1C的法向量与共线； ②判定定理法：证明及平面AB1C内两相交向量垂直． 探究2：你能用线面垂直的定义证明本例吗？ 提示：设出平面AB1C内的任意向量p，由共面向量基本定理p＝x＋y，证明垂直于向量p. 【例1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．求证：A1E⊥BD. 证明：分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为a. 依题意可得，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)． 设E(0，a，e)(0≤e≤a)，则＝(－a，a，e－a)． 又＝(－a，－a,0)， 所以·＝a2－a2＝0， 所以⊥，即A1E⊥BD. 【例2】如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD. 证明：(方法一)如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC. 因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)． 所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)． 因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0. ·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0. 所以⊥，⊥， 即AB1⊥BA1，AB1⊥BD. 又因为BA1∩BD＝B，BA1⊂平面A1BD，BD⊂平面A1BD， 所以AB1⊥平面A1BD. (方法二)建系同方法一． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x