(教案)1.3.1 空间直角坐标系-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 学习任务目标 1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系．(直观想象) 2．会用空间直角坐标系刻画点的位置. (1)在平面直角坐标系中，正三角形OAB的边长为2，点B在x轴上，点A在第一象限，则点A的坐标为(1，)． (2)在平面直角坐标系中，点P(1，－2)关于y轴的对称点的坐标是(－1，－2)． 知识点一　空间直角坐标系 1．在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面． 2．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标为右手直角坐标系． 知识点二　空间直角坐标系中的坐标表示 1．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． [微训练] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)在空间直角坐标系中，x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0. (　×　) (2)在空间直角坐标系中，Ozx平面上点的坐标满足z＝0. (　×　) (3)关于坐标平面Oyz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反． (　√　) 2．已知点P(1,1,2)，则向量的坐标为(　　) A．(1，－1，－2) B．(－1，－1，－2) C．(1,1,2) D．(－1，－1,2) C　解析：＝i＋j＋2k＝(1,1,2)．故选C. 空间中点的坐标 1．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) A　解析：设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)． 2．如图，在长方体OBCD­O1B1C1D1中，OB＝4，OD＝3，OO1＝5，N为棱CC1的中点，分别以OB，OD，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点O，B，C，D，O1，B1，C1，D1的坐标； (2)求点N的坐标． 解：(1)由已知，得O(0,0,0)． 点B在x轴上，OB＝4，所以＝4i＋0j＋0k. 所以B(4,0,0)． 同理，D(0,3,0)，O1(0,0,5)． 点C在x轴、y轴、z轴上的射影分别为B，D，O，它们在坐标轴上的坐标分别为4,3,0， 所以点C的坐标为(4,3,0)． 同理，B1(4,0,5)，D1(0,3,5)． 点C1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为B，D，O1，它们在坐标轴上的坐标分别为4,3,5， 所以点C1的坐标为(4,3,5)． 综上所述，点O(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0，3,0)，O1(0,0,5)，B1(4,0,5)，C1(4,3,5)，D1(0，3,5)． (2)由(1)，知C(4,3,0)，C1(4,3,5)， 则C1C的中点为， 即N. 空间中的对称问题 在平面直角坐标系中，我们学习过对称点的坐标特征： a．点P(m，n)关于x轴的对称点为P1(m，－n)，即横坐标不变，纵坐标互为相反数； b．点P(m，n)关于y轴的对称点为P2(－m，n)，即纵坐标不变，横坐标互为相反数； c．点P(m，n)关于原点的对称点为P3(－m，－n)，即橫、纵坐标都互为相反数． 探究1：空间中点P(x，y，z)关于坐标平面Oxy的对称点的坐标有何特征？ 提示：x，y坐标不变，z坐标变为相反数． 探究2：空间中的点P(x，y，z)关于x轴的对称点的坐标有何特征？ 提示：x坐标不变，y，z坐标变为相反数． 探究3：空间中的点