(教案)1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 学习任务目标 1．掌握空间向量运算的坐标表示，能用向量的坐标运算解决简单的几何问题．(数学运算) 2．理解空间向量夹角公式，空间两点间的距离公式．(数学运算) (1)已知向量a＝(2,1)，b＝(x,1)，且a⊥b，那么|b|＝________. 　解析：因为a＝(2,1)，b＝(x,1)，且a⊥b，所以2x＋1＝0，解得x＝－，所以b＝. 所以|b|＝. (2)已知点A(1,0)，向量＝(4,1)，则点B的坐标为________． (9,2)　解析：由题意，＝(8,2)，所以＝＋＝(1,0)＋(8,2)＝(9,2)，即点B的坐标为(9,2)． 知识点一　空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 [微训练] (多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝22 D．5a＝(20，－10，－20) CD　解析：a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，a·b＝22,5a＝(20，－10，－20)，故A，B错误，C，D正确． 知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(b≠0). 名称 向量表示 坐标表示 平行 a∥b⇔a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a·b＝0 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ [微训练] 1．已知向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，则x，y的值分别为(　　) A．6和－10 B．－6和10 C．－6和－10 D．6和10 B　解析：因为向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，所以＝＝，解得x＝－6，y＝10.故选B. 2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________. 　解析：ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝. 知识点三　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. [微训练] 1．已知A(1,1,0)，B(－1,0,2)，则||为(　　) A． B．4 C．3 D． C　解析：因为＝(－2，－1,2)，所以||＝＝3. 2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且||＝2，则实数x的值是(　　) A．－3或4 B．－6或2 C．3或－4 D．6或－2 D　解析：由题意得，||＝＝2，解得x＝6或－2.故选D. 空间向量坐标的运算 1．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|＝(　　) A．3 B．2 C． D．5 A　解析：因为a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(1＋2＋6,0＋1＋2,1－1＋0)＝(9,3,0)，所以|a－b＋2c|＝＝3. 2．已知空间向量a＝(1,0,2)，b＝(－2,1,3)，则a－2b＝________. (5，－2，－4)　解析：因为a＝(1,0,2)，b＝(－2,1,3)，所以a－2b＝(1,0,2)－2(－2,1,3)＝(5,－2,－4)． 3．已知空间向量a＝(－2,1,5)，b＝(1,3，－4)，则a·b＝________. －19　解析：因为a＝(－2,1,5)，b＝(1,3，－4)，所以a·b＝－2×1＋1×3＋5×(－4)＝－19. 【类题通法】 1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示 如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为. 探究1：怎样利用基向量法证明垂直或求夹角？ 提示：利用基底表示出两个向量，利用数量积、夹