(教案)1.2 空间向量基本定理-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

1.2　空间向量基本定理 学习任务目标 1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(数学抽象) 2．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(数学抽象) 1．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为________． 3　4　解析：因为向量e1与e2不共线，所以解得 2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为线段AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________． 　解析：因为M为边BC上任意一点，所以可设＝x＋y，且x＋y＝1.因为N为线段AM的中点，所以＝＝x＋y＝λ＋μ.所以λ＋μ＝(x＋y)＝. 知识点一　空间向量基本定理 1．分向量 如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk.我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的分向量． 2．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 知识点二　基底 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基底．空间任意三个基向量的向量都可以构成空间的一个基底． [微训练] 1．在以下3个命题中，真命题的个数是(　　) ①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面； ②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线； ③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底． A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：命题①②是真命题，命题③是假命题． 2．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　) A．a B．b C．c D．a＋b C　解析：因为a＝p＋q，所以a，p，q共面，故a，p，q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p－q，所以b，p，q共面，故b，p，q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝p－q，所以a＋b，p，q共面，故a＋b，p，q不能构成空间的一个基底，排除D.故选C. 3．(多选)空间四个点O，A，B，C, {，，}为空间的一个基底，则下列说法正确的是(　ACD　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 知识点三　正交分解 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． [微训练] 1．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，N是BC的中点，用a，b，c表示为(　　) A．－a＋b＋c B．－a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c A　解析：因为N是BC的中点，所以＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.故选A. 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥AB1. 证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)， ＝＋＝＋＝a＋b. 所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b) ＝(|b|2－|a|2)＝0. 所以⊥，即EF⊥AB1. 基底的判断 1．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是(　　) A．a,2b,3c B．a＋b，b＋c，c＋a C．a＋b＋c，b＋c，c D．a＋2b,2b＋3c,3a－9c D　解析：因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面．对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于D选项，a＋2b,2b＋3c,3a－9c满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底．故选D. 2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3.试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 解：假设，，共面， 则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， 所以e1＋2e2－e3＝λ