(教案)1.1.1 空间向量及其线性运算(第1课时)-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算(第1课时) 学习任务目标 1．了解空间向量的概念．(数学抽象) 2．掌握空间向量的线性运算．(数学运算) (1)＋＋＋＝________. 　解析：＋＋＋＝＋＋＋＝. (2)如图，在矩形ABCD中，＝2，F为DE的中点．若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________. 　解析：由F为DE的中点，利用向量的平行四边形法则可得＝＋，利用向量的三角形法则，知＝＋＝＋＝＋，所以＝＋＋＝＋.因为＝m＋n，所以m＝，n＝，所以m＋n＝＋＝. 知识点一　空间向量的有关概念 1．定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．空间向量的长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 3．表示法 (1)几何表示法：空间向量用有向线段表示． (2)字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 知识点二　几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或||＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量 －a 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或＝ 共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 a∥b [微训练] 1．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，连接顶点的向量中，与向量相等的向量共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　解析：与向量相等的向量有，，，共3个． 2．给出下列命题： ①若空间向量a，b满足a＝b，则|a|＝|b|； ②在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，必有＝； ③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　解析： ①为真命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，模一定相等；②为真命题，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，与的方向相同，模也相等，故＝；③为真命题，向量相等满足传递性；④为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．故选A. 知识点三　空间向量的线性运算 1．空间向量的加法、减法以及数乘运算 (1)如图1，a＋b＝＋＝. (2)如图1，a－b＝－＝. (3)如图2，当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0. 2．空间向量的线性运算满足的运算律(其中λ，μ∈R) 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. [微训练] 1．已知在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b－c B．－a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c C　解析：＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c. 2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，用向量，，表示向量的结果为(　　) A．＝－＋ B．＝＋－ C．＝＋－ D．＝＋＋ B　解析：＝＋＋＝－＋＋.故选B. 空间向量的有关概念 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩． 探究1：如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 提示：游客的实际位移是从O到B，用向量来表示． 探究2：如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 提示：实际发生的位移是从O到D，用向量表示． 1．下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．若向量a，b平行，则a，b所在的直线未必平行 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足||＞||，则＞ D．相等向量其方向未必相同 A　解析：A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合，故A正确；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定，故B错误；C中，向量作为矢量不能比较大小，故C错误；D中，相等向量指的是两个向量长度相等且方向相同，故D错误．故选A. 2．如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，分别以长方体的顶点为起点和终点． (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为的所有向量． (3)试写出与向量相等的所有向量． (4)试写出向量所有的相反向量． 解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个． (2)由于长方体的左、右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，. (3)与向量相等的所有向量(除它