(教案)1.1.2 空间向量的数量积运算-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

1.1.2　空间向量的数量积运算 学习任务目标 1．掌握空间向量的夹角与长度的概念．(直观想象) 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(数学运算) 3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(数学运算) (1)在等边三角形ABC中，向量与的夹角为120°. (2)向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，a，b夹角为150°，则a·b＝－3. 知识点一　空间向量的夹角 1．定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．夹角的范围 通常规定，0≤〈a，b〉≤π.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b. [微训练] 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量与夹角的大小为________. 60°　解析：△AD1C是等边三角形，〈，〉＝〈，〉＝60°. 知识点二　空间向量的数量积、运算律 1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．其中，|a|cos〈a，b〉称为向量a在向量b上的投影向量．特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 2．线面角 如图，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 3．空间两向量的数量积的性质 向量数量 积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2， |a|＝， |a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 4．空间向量的数量积满足的运算律 (1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； (2)a·b＝b·a(交换律)； (3)a·(b＋c)＝a·c＋b·c(分配律)． [微训练] 1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2.若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 B　解析：由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6. 2．下列式子中正确的是(　　) A．|a|a＝a2 B．(a·b)2＝a2b2 C．a(a·b)＝b·a2 D．|a·b|≤|a||b| D　解析：根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．故选D. 空间向量数量积的运算 1．(多选)如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于－a2的是(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· AB　解析：2·＝－a2；2·＝－a2；2·＝a2；2·＝－a2.故选AB. 2．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　解析：因为p⊥q且|p|＝|q|＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. 3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝________. a2　解析：·＝＋·＝·＋·＝a2cos 60°＋0＝a2. 利用数量积证明空间中的垂直关系 【例1】已知在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”) 垂直　解析：因为·＝(＋)·(－)＝·＋·－2－·＝·(－－)＝·＝0，所以AD与BC垂直． 【例2】如图，已知在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC. 证明：如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|. 又＝(＋)＝＝(a＋b＋c)，＝－＝c－b，所以·＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. 所以⊥，即OG⊥BC. 【类题通法】 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1