(练习)33 课时分层训练(二十六) 抛物线的简单几何性质(第2课时)-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

课时分层训练(二十六)　抛物线的简单几何性质(第2课时) 1．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 B　解析：因为点(2,4)在抛物线y2＝8x上， 所以过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行． 2．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是(　　) A．(1,2) B．(1,2] C．(1，) D．(1，] B　解析：由题意可知，≤， 故e＝≤＝2. 又e>1，故e∈(1,2]． 3．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C． D． B　解析：如图，设直线AB的方程为x＝ny＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 第3题答图 因为·＝2，所以x1x2＋y1y2＝2. 又y＝x1，y＝x2，所以y1y2＝－2. 联立得y2－ny－m＝0， 所以y1y2＝－m＝－2， 所以m＝2，即点M(2,0)． 又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO ＝|OM||y1|＋|OM||y2|＝y1－y2， S△AFO＝|OF|·|y1|＝y1， 所以S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1 ＝y1＋≥2＝3， 当且仅当y1＝时，等号成立． 4．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是____________． (3,2)　解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系， 得x1＋x2＝6，所以＝3. 所以＝＝＝2. 所以所求点的坐标为(3,2)． 5．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为____________． y2＝4x　解析：设抛物线方程为y2＝2px， 将直线与抛物线方程联立求得x2－2px＝0， 所以xA＋xB＝2p. 因为xA＋xB＝2×2＝4， 所以p＝2. 所以抛物线C的方程为y2＝4x. 6．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________． 　解析：设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0. 由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0， 令Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1， 即直线方程为x－y＋1＝0， 直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝. 即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为. 1．(多选)过点(0,1)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线是(　　) A．x＝0 B．y＝0 C．x＝1 D．y＝1 AD　解析：点(0,1)在抛物线外，过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条，其中两条是抛物线的切线，一条平行于抛物线的对称轴．直线x＝0是过(0,1)且与抛物线相切的直线，直线y＝1是过(0,1)且平行于抛物线的对称轴的直线，BC选项的直线不满足条件． 2．(多选)已知抛物线C：x2＝2py.若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝4y B．x2＝－4y C．x2＝2y D．x2＝－2y CD　解析：由得或 即两交点坐标分别为(0,0)和(4p,8p)，则＝4，得p＝±1，故抛物线C的方程为x2＝±2y. 3．(多选)经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是(　　) A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B．＋＝ C．以弦AB为直径的圆与直线x＝－相离 D．y1y2＝－p2 ABD　解析：经过抛物线焦点的直线与抛物线相交，其主要结论有：当AB与x轴垂直时，|AB|最小，所以A正确.＋＝，所以B正确．以AB为直径的圆与准线x＝－相切，所以C错误．y1y2＝－p2，所以D正确．故选ABD. 4．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，4，|BF|成等差数列，则k＝(　　) A．2或－1 B．－1 C．2 D．1± C　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0， 故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)＞0， 解得k＞－1，且x1＋x2＝. 由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|,4，|BF|成等差数列，得x1＋2＋x2＋2＝8，所以x1＋x2＝4. 所以＝4，解得k＝－1或