(练习)32 课时分层训练(二十五) 抛物线的简单几何性质(第1课时)-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

课时分层训练(二十五)　抛物线的简单几何性质(第1课时) 1．抛物线y2＝4px(p>0)上一点M到焦点的距离为a，则M到y轴的距离为(　　) A．a－p B．a＋p C．a－ D．a＋2p A　解析：可先求M到准线的距离为a，又准线方程为x＝－p，所以M到y轴距离为a－p. 2．双曲线my2－x2＝1的一个顶点在抛物线的y＝x2的准线上，则该双曲线的离心率为(　　) A． B．2 C．2 D． A　解析：因为抛物线的方程为y＝x2，所以抛物线的准线方程为y＝－.因为双曲线my2－x2＝1的一个顶点在抛物线y＝x2的准线上，所以双曲线的顶点坐标为，所以a＝.又因为b＝1，所以c＝，则双曲线的离心率为＝. 3．(多选)若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A． B． C． D． BD　解析：设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)． 由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|. 又F，所以x0＝，所以y＝，所以y0＝±. 4．(多选)顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝6y B．y2＝－6x C．x2＝12y D．x2＝－12y CD　解析：设抛物线方程为x2＝±2py，且＝3，所以p＝6，因此抛物线的标准方程为x2＝±12y. 5．已知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点．若抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x D　解析：设抛物线C的方程为y2＝2px，p>0，因为|MF|＝2＋＝6，所以p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝16x. 6．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 B　解析：因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°. 由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)． 所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2. 7．抛物线y2＝ax上有一点P(3，m)，它到焦点的距离等于4，则a＝________，m＝________. 4　±2　解析：由题意得，a>0且所以a＝4，m＝±2. 8．边长为1的等边三角形AOB中，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是____________． y2＝±x　解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x. 9．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为________． y2＝8x或y2＝－16x　解析：当m>0时，准线方程为x＝－＝－2，所以m＝8， 此时抛物线方程为y2＝8x； 当m<0时，准线方程为x＝－＝4， 所以m＝－16， 此时抛物线方程为y2＝－16x. 所以所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x. 10．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________． (－6,6)或(－6，－6)　解析：设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6. 代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6. 因此P(－6,6)或P(－6，－6)． 1．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　) A． B． C． D．3 A　解析：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，当m＝时，取得最小值为. 2．(多选)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0可能的取值是(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 CD　解析：由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0,2)，准线方程y＝－2. 由抛物线定义，|MF|＝y0＋2，因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0,2)到准线y＝－2的距离为4，所以4＜y0＋2，从而y0＞2. 3．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A，B，C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　　) 第3题图 A．y2＝x B．y2＝3x C．y2＝x D．y2＝9x B　解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D. 第3题答图 设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得，|BD