(练习)9 空间向量与立体几何 大单元限时评估卷(一)-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

大单元限时评估卷(一) (时间：120分钟　分值：150分) 试卷考查范围 主要命题点 1.1～1.4 1．空间向量的线性运算及数量积运算 2．空间向量的平行、垂直及模、夹角、距离的坐标表示 3．利用空间向量解决平行、垂直问题 4．利用空间向量求线线角、线面角、二面角和距离 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．有以下三个命题： ①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．其中真命题的个数是( C ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间的一个基底的是(　　) A．＝＋＋ B．≠＋ C．＝＋＋ D．＝2 － C　解析：A中点M，A，B，C共面；B，D中，，可能共面，故选C. 3．如图，在平行六面体ABCD­EFGH中，若＝x－2y＋3z，则x＋y＋z等于( C ) 第3题图 A． B． C． D． 4．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，(＋－2)·(－)＝0，则△ABC为( B ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为(　　) 第5题图　 A． B． C． D． B　解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)． 所以＝(2,0，－2)，＝(－2,1，0)，＝(0,3，－2)． ( 第 5 题答图 )设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则取x＝1得n＝(1,2,3)为平面PCD的一个法向量． 则cos〈，n〉＝＝＝－， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为. 6．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 B　解析：在正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，所以＝＋，＝. 则·＝(＋)·＝·＋·. 因为是正四面体，所以BE⊥AD，∠BAD＝， 即·＝0，·＝|AB||AD|cos＝， 所以·＝.故选B. 7．在直角坐标系xOy中，设A(2,2)，B(－2，－3)，沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB的长是(　　) A． B．6 C．3 D． A　 解析：如图，分别过A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D， 则||＝2，||＝2， ( 第7题答图 )||＝5，〈，〉＝60°， 所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2 ·＋2·＋2·＝4＋25＋4＋2×2×2cos 60°＋0＋0＝37， 所以||＝.故选A. 8．在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( C ) A．30° B．45° C．60° D．90° 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，下列是平面ABC的单位法向量的是(　　) A． B． C． D． CD　解析：＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)． 设平面ABC的一个单位法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝n·＝0，|n|＝1. 所以－x＋y＝－x＋z＝0，＝1. 解得x＝y＝z＝±. 所以n＝±(1,1,1)． 10．如图，已知平行六面体OABC­O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的中心，则(　　) 第10题图 A．＝－a＋b＋c B．＝－b－a＋c C．＝a－b－c D．＝a－b＋c CD　解析：＝＋＝－b＋(a－c)＝a－b－c； ＝＋＝＋＝＋(＋)＝a－b＋c. 11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列命题正确的是(　　) A．(＋＋)2＝32 B．·(－)＝0 C．与的夹角为60° D．正方体的体积为|··| AB　解析：如图所示，以点D为坐标原点，以向量，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． ( 第 11 题答图 )设棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1，