(练习)6 课时分层训练(五) 用空间向量研究距离问题-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

课时分层训练(五)　用空间向量研究距 离问题 1．在平面直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角后，AB的长度是 (　　) A． B．2 C．3 D．4 B　解析：如图所示，||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋4＋25＋2×3×2×cos 60°＝44，故||＝2. 第1题答图 2．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角PADC为60°，则P到AB的距离是(　　) A．2 B． C．2 D． D　解析：由⇒∠PDC为二面角PADC的平面角，如图所示，过P作PH⊥DC于H. 第2题答图 在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB， 所以线段PE即为所求． 因为∠PDC＝60°，PD＝2， 所以PH＝. 因为EH＝AD＝2， 所以由勾股定理可得PE＝＝. 故选D. 3．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　) A． B． C． D． B　解析：以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立坐标系Bxyz，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)， 所以cos〈，〉＝＝＝. 所以sin〈，〉＝. 所以点A到直线BE的距离 d＝|AB|sin〈，〉＝. 4．如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离为(　　) 第4题图 A．a B．a C．a D．a D　解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M，A1(a,0，a)， 所以＝(a，a,0)，＝，＝. 设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0且n·＝0， 即所以 令z＝2，则n＝(－1,1,2)为平面MBD的一个法向量， 所以点A1到平面MBD的距离为 d＝＝＝a. 5．(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1,3,0)在平面α内．若点P(－2,1，z)到α的距离为，则z＝(　　) A．－16 B．－4 C．4 D．16 AC　解析：因为n＝(－2，－2,1)，＝(－1，－2，z)，且d＝＝＝＝，所以z＝4或－16. 6．正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为________． 　解析：建立如图所示空间直角坐标系． 第6题答图 则D1(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,1)，O，C1(0，1,0)， 所以＝(1,0,1)，＝(0,1,0)，＝. 设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，得n＝(1,0，－1)为平面ABC1D1的一个法向量． 所以点O到平面ABC1D1的距离 d＝＝＝. 7．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为a的正方形，AA1＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则A1C的长为________． 　解析：因为＝＋＝＋＋， 所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝b2＋a2＋a2－2ab·cos 120°－2ab·cos 120°＝b2＋2a2＋2ab. 所以||＝. 8．如图，ABCDEFGH为棱长等于1的正方体．若P点在正方体的内部且满足＝＋＋，则点P到直线AB的距离为________． 第8题图 　解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示． 第8题答图 因为＝＋＋， 所以AN＝，NM＝，PM＝. 所以PN＝＝＝， 即P点到直线AB的距离为. 1．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6，2)，C(1,3，－1)，则BC边上的中线长为(　　) A． B． C． D． B　解析：易得BC的中点D的坐标为，＝，故BC边上的中线长为|AD|＝||＝＝. 2．已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6 cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是(　　) A． cm B． cm C．2 cm D．2 cm B　解析：如图所示，过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，垂足分别为A，B，连接AE，EB.在Rt△FAE中，FE＝2FA；在Rt△GBE中，EG＝BG.设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm. 第2题答图 3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a D　解析：由正方体的性质，易得