(练习)5 课时分层训练(四) 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

课时分层训练(四)　用空间向量研究直线、平面的位置关系 1．(多选)若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(－1，－2，－3) D．(－1，－3，－2) AC　解析：＝(2,4,6)＝2(1,2,3)＝－2(－1，－2，－3)，故直线l的一个方向向量为(1,2,3)或(－1，－2，－3)． 2．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ D　解析：因为l1∥l2，所以a∥b，所以存在λ∈R，使a＝λb， 则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy， 所以x＝6，y＝. 3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) D　解析：若l∥α，则a·n＝0.A中a·n＝－2； B中a·n＝1＋5＝6；C中a·n＝－1；只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D. 4．设平面α的一个法向量为(1,2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)．若α∥β，则k＝(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 C　解析：因为α∥β，所以＝＝， 所以k＝4，故选C. 5．如果直线l的一个方向向量a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的一个法向量是b＝(2,0,4)，那么(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l⊂α D．l与α斜交 B　解析：因为a·b＝－4＋4＝0， 所以a⊥b.又因为l⊄α，所以l∥α. 6．若平面α与β的一个法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1,0,2)，则平面α与β的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判断 A　解析：因为a＝(1,0，－2)＝－(－1,0,2)＝－b，所以a∥b，所以α∥β. 7．若直线l的一个方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的一个法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 B　解析：因为n＝－2a，所以n∥a，所以l⊥α. 8．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是(　　) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 C　解析：因为(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， 所以两法向量垂直，从而两平面也垂直． 9．若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1，0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，则平面ABC的法向量中，竖坐标为1的是____________． (3,3,1)　解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)． 因为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)， 所以＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0)． 所以即解得 令z＝1，则x＝y＝3. 故n＝(3,3,1)是平面ABC的一个法向量． 10．已知直线l的一个方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝________，z＝________. 　　解析：因为＝(－1,2－y，z－3)，∥v，故＝＝，故y＝，z＝. 11．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________. －9　解析：因为l⊥α，所以u⊥v，所以(1，－3，z)·(3，－2，1)＝0，即3＋6＋z＝0，所以z＝－9. 1．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 C　解析：＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)， 则·＝－3×(－1)－2×4＋5＝0. 所以⊥.故△ABC为直角三角形． 又||≠||，故选C. 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　) 第2题图 A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2,1) D．(1,2，－2) B　解析：设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)， 所以＝(0,2,1)，＝(－1,0,2)． 设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的法向量， 则 取y＝1，得x＝－4，z＝－2. 所以n＝(－4,1，