(练习)7 课时分层训练(六) 用空间向量研究夹角问题-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

课时分层训练(六)　用空间向量研究夹 角问题 1．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于 B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角 C．二面角的取值范围是[0，π] D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小 ABD　解析：当直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为π时，直线l与平面α所成的角为，A不正确；向量夹角的取值范围是[0，π]，而异面直线夹角的取值范围是，B不正确；二面角的取值范围是[0，π]，C正确；二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，D不正确． 2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　) A．0 B． C．－ D． A　解析：建立如图所示空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，所以＝(－2，－2,3)，＝(－2,2,0)．所以cos〈，〉＝＝0. 第2题答图 3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120° B．60° C．30° D．60°或30° C　解析：由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，所以直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°. 4．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° B　解析：如图所示，建立空间直角坐标系． 第4题答图 设PA＝AB＝1， 则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)， 所以＝(0,1,0)． 取PD的中点E，则E， 所以＝. 易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，所以cos〈，〉＝，故平面PAB与平面PCD的夹角为45°. 5．(多选)三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2.若〈n1，n2〉＝，则二面角A-BD-C的大小可能为(　　) A． B． C． D． BC　解析：二面角的范围是[0，π]，且与法向量的夹角相等或互补． 6．在直角坐标系中，已知A(2,3)，B(－2，－3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A­Ox­B，使∠AOB＝90°，则cos θ＝________. 　解析：过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′(图略)，则AA′＝3，BB′＝3，A′B′＝4，OA＝OB＝，折叠后，∠AOB＝90°， 所以AB＝＝. 由＝＋＋，得 ||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos(π－θ)． 所以26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)， 所以cos θ＝. 7．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________． 第7题图 　解析：如图所示，建立空间直角坐标系． 第7题答图 设AB＝1，则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0，2)，＝(0,1，－2)，＝(－1,0，2)， cos〈，〉＝＝＝－， 所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 8．在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________． 30°　解析：如图所示，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz. 第8题答图 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a，0)，C(－a,0,0)，P， 则＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)． 设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)． 因为n⊥，n⊥， 所以所以x＝0，y＝z. 令y＝1，则n＝(0,1,1)是平面PAC的一个法向量． 所以cos〈，n〉＝＝＝， 所以〈，n〉＝60°. 所以直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°. 9．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)．如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________. 　解析：平面xOy的一个法向量为n＝(0,0,1)．设平面α的法向量为u＝(x，y，z)， 则 即3x＝4y＝az， 取z＝1，则u＝. 而cos〈n，u〉＝＝， 解得a＝±. 又因为a＞0，所以a＝. 1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． C　解析：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 第1题答