(练习)1 课时分层训练(一) 空间向量及其线性运算-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

课时分层训练(一)　空间向量及其线性运算 1．(多选)下列命题中，真命题是(　　) A．向量与的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 ABC　解析：共线的单位向量方向相同或相反，只有D错误． 2．(多选)下列命题为假命题的是(　　) A．任意两个空间向量的模能比较大小 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 BCD　解析：对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，向量a与向量b不相等，它们的模可以相等． 3．如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) 第3题图 A．a＋b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c D　解析：＝－＝－(＋)＝b－(c＋a)＝－a＋b－c. 4．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点， 点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则＝(　　) A．＋＋ B．＋＋ C．＋＋ D．＋＋ ( 第 4 题答图 )D　解析：如图所示，＝，＝＋，＝，＝＋，＝，＝，所以＝＝＋＋.故选D. 5．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A．P∈直线AB B．P∉直线AB C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对 A　解析：因为m＋n＝1，所以m＝1－n. 所以＝(1－n)＋n，即－＝n(－)， 即＝n，所以与共线． 又，有公共起点A， 所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB. 6．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A．＝2－－ B．＝＋＋ C．＋＋＝0 D．＋＋＋＝0 C　解析：因为＋＋＝0， 所以＝－－. 所以M与A，B，C必共面，只有选项C符合． 7．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. －　解析：因为|a|＝|b|且a与b方向相反，所以a＝－b. 8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________. －8　解析：＝＋＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2. 又A，B，D三点共线，所以＝λ， 即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)， 所以所以k＝－8. 1．(多选)下列命题，其中是真命题的有(　　) A．若∥，则A，B，C，D四点共线 B．若∥，则A，B，C三点共线 C．若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b D．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0 BCD　解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错误； 因为∥且，有公共点A，所以B正确； 由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b，故C正确；易知D也正确． 2．已知空间四边形ABCD，点E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点．若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ(其中λ≠0，μ≠0)，则向量与满足的关系为(　　) A．＝ B．∥ C．||＝|| D．||≠|| B　解析：－＝λ－λ＝λ， 即＝λ.同理＝μ. 所以∥，即∥. 又λ与μ不一定相等， 故||不一定等于||. 3．若a，b是平面α内的两个向量，则(　　) A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) D　解析：当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则与a，b共面的任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确． 4．已知i与j不共线，则“存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj”是“i，j，k共面”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：若i与j不共线，则k与i，j共面⇔存在唯一的一对实数x，y，使k＝xi＋yj，x，y不一定非零．故选A. 5．已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝________. 0　解析：设D为AB的中点，则＋＝2. 又M为△ABC的重心，则＝－2， 所以＋＋＝0. 6．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，若＝x·＋2y·＋3z·，则x＋