(练习)3 课时分层训练(三) 空间向量基本定理空间向量及其运算的坐标表-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

课时分层训练(三)　空间向量基本定理 空间向量及其运算的坐标表 1．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　) A．a B．b C．c D．a＋b C　解析：由p＝2a＋b，q＝2a－b得a＝p＋q，所以a，p，q共面，故a，p，q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p－q，所以b，p，q共面，故b，p，q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝p－q，所以a＋b，p，q共面，故a＋b，p，q不能构成空间的一个基底，排除D.故选C. 2．设O­ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1.若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) A． B． C． D． A　解析：因为＝＝(＋)＝＋×＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋， 而＝x＋y＋z， 所以x＝，y＝，z＝. 3．已 知a ＝ (1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝(　　) A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3) A　解析：b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 4．(多选)已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝ B．x＝ C．y＝－ D．y＝－4 BD　解析：因为a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝，y＝－4. 5．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则“＝＝”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 A　解析：设＝＝＝k，易知a∥b，即条件具有充分性．又当b＝0时，b＝(0,0,0)，虽有a∥b成立，但条件＝＝显然不成立，所以条件不具有必要性，故选A. 6．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　) A．90° B．60°　 C．45°　　 D．30° A　解析：a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)， a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)， 所以(a＋b)·(a－b)＝0. 所以(a＋b)⊥(a－b)． 7．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为(　　) A． B． C． D． C　解析：AB的中点M，所以＝，故|CM|＝||＝＝. 8．已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________. 3a＋3b－5c　解析：因为＝＋＋，＝＋＋， 所以两式相加得2＝(＋)＋＋＋(＋)． 因为E为AC中点，所以＋＝0. 同理＋＝0， 所以2＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)＝6a＋6b－10c.所以＝3a＋3b－5c. 9．若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________. 或　解析：设a＝(x，y，z)， 由题意有即 解得或 1．(多选)已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的是(　　) A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c ABD　解析：对于A，由2a＝(a－b)＋(a＋2b)，得2a，a－b，a＋2b三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B，由2b＝(b－a)＋(b＋2a)，得2b，b－a，b＋2a三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C，因为找不到实数λ，μ，使a＝λ·2b＋μ(b－c)成立，故a,2b，b－c三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D，由c＝(a＋c)－(a－c)，得c，a＋c，a－c三个向量共面，故它们不能构成一个基底．故选ABD. 2．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) A　解析：依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)． 3．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面