(练习)2 课时分层训练(二) 空间向量的数量积运算-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

课时分层训练(二)　空间向量的数量积运算 1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|＝ C．a2b＝b2a D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 BD　解析：因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确；C中结论不一定成立；D运算正确． 2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ等于(　　) A． B．－ C．± D．1 A　解析：因为a⊥b，所以a·b＝0.因为(3a＋2b)⊥(λa－b)，所以(3a＋2b)·(λa－b)＝0， 即3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0，所以12λ－18＝0，解得λ＝. 3．(多选)如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于－a2的是(　　) 第3题图 A．2· B．2· C．2· D．2· AB　解析：2·＝－a2，故A正确；2·＝－a2，故B正确；2·＝||2＝a2，故C不正确；2·＝－a2，故D不正确． 4．已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是“l⊥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：若l⊥平面α，则c⊥a，c⊥b，所以c·a＝0，c·b＝0；反之，若a∥b，则c⊥a，c⊥b，并不能保证l⊥平面α. 5．已知非零向量a，b不平行，且|a|＝|b|，则a＋b与a－b之间的关系是(　　) A．垂直 B．同向共线 C．反向共线 D．以上都可能 A　解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b垂直． 6．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角为(　　) A．60° B．120° C．30° D．90° B　解析：a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－， |a|＝＝＝＝＝， |b|＝＝＝＝＝， 所以cos〈a，b〉＝＝＝－. 所以〈a，b〉＝120°. 7．正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为(　　) A．2 B． C． D． C　解析：如图，＝＋＋，且||＝||＝1， ||＝2，·＝0，·＝0，〈，〉＝120°， ( 第 7 题答图 )所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝1＋4＋1－1＝5，所以||＝，即EF的长为. 8．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________． 60°　解析：因为＝＋＋， 所以·＝·(＋＋)＝||2＝1. 所以cos〈，〉＝＝. 所以异面直线a，b所成的角是60°. 9．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是____________． (－1－，－1＋)　解析：由题意知 即 所以λ2＋2λ－2<0， 解得－1－<λ<－1＋. 10．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝____________. 　解析：|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61， 所以|2a－3b|＝. 1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2.若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 B　解析：由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1， 所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0. 所以2k－12＝0，所以k＝6. 2．若a，b均为非零向量，则“a·b＝|a|·|b|”是“a与b共线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：a·b＝|a||b|⇒cos〈a，b〉＝1⇒〈a，b〉＝0°，即a与b共线．反之不成立，因为当a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|. 3．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　解析：根据∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，所以·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1. 所以cos〈，〉＝＝. 所以AB与CD所成的角为60°. 4．已知|a|＝3，|b|＝4