21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系讲义2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级上册第二十一章 21.2降次——解一元二次方程讲义 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 层级要求： 掌握 ③掌握一元二次方程根和系数的关系，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题。 理解 ②根与系数关系及运用 认识 ①一元二次方程根与系数的关系。 基础知识详解 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 出题角度1 不解方程，利用韦达定理求某些代数式的值，倒数、差、立方等 例1、已知二次方程的两根为，求： 　　（1）；（2）　　(3) ；(4)． 分析：由根与系数的关系，可以不解方程，求出与两根有关的代数式的值，其关键是将它们用x1+x2，x1·x2表示出来。 解 由韦达定理知，． （1）；（2） 　　(3) 　　(4) 变式练习1.已知方程的两实数根为、，不解方程求下列各式的值。 （1） （2） （3）（4） （5） 出题角度2 综合运用根的定义和韦达定理求代数式的值 例2.如果是一元二次方程的两个根，那么的值是_____. 解析：本题需同时使用方程解的定义和根与系数的关系，由是的根得：，故，所以 ，由根与系数的关系得，所以原式. 答案：4 变式练习2.设，是方程的两个根，求的值 出题角度3 求做新的一元二次方程 例3.已知一元二次方程x2+3x﹣5=0，不解方程，求作以该方程两根的平方为根的一元二次方程． 分析：设方程x2+3x﹣5=0的两根分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=﹣5，再计算a2+b2和a2•b2的值，然后根据根与系数的关系写出新方程． 解：设方程x2+3x﹣5=0的两根分别为a、b，则a+b=﹣3，ab=﹣5， ∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab=9﹣2×（﹣5）=19，a2•b2=（a•b）2=25， ∴所求的新方程为x2﹣19x+25=0． 变式练习3.已知一元二次方程2x2+3x﹣5=0，不解方程，求作以该方程的两根的倒数为根的一元二次方程． 出题角度4 已知方程的一个根，求另一个根和未知系数  例4.已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．若x=﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根． 分析；把x=﹣1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值；由根与系数的关系来求方程的另一根． 解：∵x=﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根，∴x=﹣1满足该方程， ∴（﹣1）2﹣m×（﹣1）﹣2=0，即m﹣1=0，解得，m=1． 设方程的另一根为t，则﹣t=﹣2，解得t=2． 综上所述，m的值是1，方程的另一根是2． 点拨： 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 变式练习4.已知关于x的一元二次方程3x2+kx﹣2=0的一个根为2，求它的另一根及k的值． 出题角度5 已知方程两根满足某种关系，确定方程中母系数的值  例5.已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，求实数m的值． 分析：（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）由x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=m2﹣1；代入（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，建立关于m的方程，据此即可求得m的值． 解：（1）由题意有△=[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1， ∴实数m的取值范围是m≥﹣1； （2）由两根关系，得x1+x2=﹣（2m+1），x1•x2=m2﹣1，（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0， ∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16=0，∴m2+8m﹣9=0，解得m=﹣9或m=1 ∵m≥﹣1，∴m=1． 变式练习5.一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0． （1）若方程有两实数根，求m的范围． （2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m． 出题角度6 已知两数的和与积，求这两个数  例6.已知两个数的和等于8，积等于7，求这两个数． 分析：根据两个数的和等于8，设一个数是x，则另一个数是8﹣x，根据两个数的积是7，即可列方程求解． 解：根据根与系数的关系可知：这两个数是方程x2﹣8x+7=0的两个根． 解得x1=1，x2=7； 答：这两个数是1和7． 点拨：本题