11 核心素养提升(二) 探究旋转有关题型-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步(人教版)

核心素养提升(二) (探究旋转有关题型) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在边AB上，连接BB′，则BB′的长度是(B) A. 1 cm B. 2 cm C. cm D. 2 cm 　求线段的长 1. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为3的等边三角形，将△AOB绕 点B 按顺时针方向旋转得到△DCB，使点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD.求OC的长. 【方法1】直观想象结合数学运算——找到题目中的直角三角形，利用勾股定理求线段的长 【解读】利用旋转的关系找到相等的角，从而证明三角形是直角三角形，使用勾股定理求线段的长. 【自主解答】 解：∵△AOB是边长为3的等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝3，∠AOB＝∠BAO＝∠OBA＝60°. 又△DCB是由△AOB绕点B按顺时针方向旋转得到的， ∴△DCB也是边长为3的等边三角形． ∴∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝BC＝BD＝CD. 在△OCB中，OB＝BC，∠OBC＝120°， ∴∠BOC＝∠OCB＝30°. ∴∠OCD＝90°. 在Rt△ODC中，由勾股定理，得OC＝＝＝3. 【方法2】数学建模——构造直角三角形解题 【解读】在平面直角坐标系中，求线段的长可以考虑作两坐标轴的垂线，利用直角三角形求解. 【自主解答】 解：过点C作CF⊥x轴于点F，则△OCF为直角三角形．∵△AOB是边长为3的等边三角形， △DCB是由△AOB绕点B按顺时针方向旋转得到的， ∴△DCB也是边长为3的等边三角形． ∴CF是等边三角形CDB的高． ∴BF＝BD＝， ∴CF＝＝， OF＝OB＋BF＝，OC＝＝3. 　图形旋转求点的坐标 2. 如图1，将▱OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点 C(－6 ,0)，点A在第一象限，OA＝2，∠A＝60°，AB 与 y轴 交于点N. 图1　　　　　　　　　图2　　　　　　　　备用图 如图2，将▱OABC绕点O逆时针旋转得到▱OA′B′C′，当点A的对应点A′落在y轴正半轴上时，求旋转角及点B的对应点B′的坐标. 【方法1】直观想象与数学运算——与x轴的交点 【解读】延长C′B′与OC交于点M，根据旋转的性质和平行四边形的性质，求出∠C′MO＝90°，∠MOC′＝30°，再根据勾股定理和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，求出 C′M 和 OC′ 的长，从而求出MB′ 的长，即可得出点 B′ 的坐标. 【自主解答】 解：如图，延长C′B′与OC交于点M， . 当点A的对应点A′落在y轴正半轴上时，旋转角为∠AOA′＝∠AON＝30°. ∵C(－6,0)，∴OC＝6. ∵四边形OABC是平行四边形， ∴∠BCO＝∠A＝60°，BC＝OA＝2. 由旋转知，OC′＝OC＝6，B′C′＝BC＝2，∠C′＝∠BCO＝60°. ∵∠MOC′＝∠AOA′＝30°，∠C′＝60°， ∴∠C′MO＝90°. ∴C′M＝C′O ＝3. 在Rt△OMC′中， OM＝＝＝3. ∵MB′＝C′M－B′C′＝3－2＝1， ∴点B′的坐标为(－3，－1)． 【方法2】直观想象与数学运算——与y轴的交点 【解读】过点B′作B′M⊥y轴于点M，当点A的对应点A′落在y轴正半轴上时，根据旋转的性质和平行四边形的性质，求出A′B′＝AB＝6，∠A′B′M＝30°，再根据勾股定理和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，求出 A′M 和 B′M 的长，从而求出OM的长，即可得出点 B′ 的坐标. 【自主解答】 解：如图，过点B′作B′M⊥y轴于点M. 当点A的对应点A′落在y轴正半轴上时， 旋转角为∠AOA′＝∠AON＝30°. ∵C(－6,0)，∴OC＝6. ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB＝OC＝6. 由旋转，知A′B′＝AB＝6, OA′＝OA＝2，∠OA′B′＝∠A＝60°，∴∠A′B′M＝90°－60°＝30°. 在Rt△A′B′M中，A′M＝A′B′＝×6＝3， B′M＝＝＝3. ∵OM＝A′M－A′O＝3－2＝1， ∴点B′的坐标为(－3，－1)． 　在坐标系中使用旋转求解 3. 【母题】如图，在平面直角坐标系中，点B在 x轴正半轴上，点A的坐标为(0,6)，点P在线段AB上，∠OAB＝∠AOP＝30°.求点P的坐标. 【解读】过点P作PH⊥OB于点H，根据三角形中位线定理得PH＝3，由直角三角形的性质，可得OB的长，从而得OH的长，进而解决问题. 【自主解答】 解：如图，过点P作PH⊥OB于点H. ∵点A的坐标为(0,6)，∴OA＝6. ∵∠OAB＝∠AOP＝30°， ∴∠ABO＝∠BPO＝60°，AP＝OP.