1.3 集合的基本运算8种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略（人教A版2019必修第一册）

1.3 集合的基本运算8种常见考法归类 1、集合交集的运算 (1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成； (2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”； (3)∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. 2、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．　 3、集合并集的运算 (1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成； (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但xB”；“x∈B，但xA”；“x∈A，且x∈B”．因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示． 4、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 注：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．　　 5、利用集合的交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等条件，解答时常借助于交、并集的定义及集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B，A∩B＝A∪B⇔A＝B.等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．　 6、求集合交集、并集中参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解、或解集为怎样的范围．　　 3解方程组或解不等式组来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点： ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； ②对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性. 7、补集的运算 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且xA}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一． 8、求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． 9、解决集合运算问题的方法 (1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行： 交集元素仔细找，属于A且属于B； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集． (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集． (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解．　 10、由集合的补集求解参数的问题 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解． (2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 11、利用交并补求参数范围的解题思路 (1)根据并集求参数范围：， 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数