二次函数与单线段最值或者线段长度问题讲义2022-2023学年人教版九年级数学上册

二次函数与单线段最值或者线段长度问题 知识提炼： 1、 平面直角坐标系中水平或者垂直方向线段的最值问题 垂直方向线段：AB=（纵坐标相减，上减下） 水平方向线段：AB=（横坐标相减，右减左） 2、 抛物线中线段的最值或者长度问题 图1 图2 1、 垂直线段最值求解方法 如图1，求线段PQ的最大值：先求出抛物线的表达式，直线AC的表达式，由于P点和Q点分别在抛物线和直线AC上，可以设Q的横坐标用m来表示，则P的横坐标也为m，通过表达式，进而得Q点和P的纵坐标，两者做差值可以得到关于m的二次函数，且开口向下，从而得到PQ线段的最大值 即PQ= 2、 二次函数中斜线段最值的求解方法： 如图2，求PH的最大值： 利用三角函数，∠PHQ=∠CAO，由三角函数，得到PH=PQ*cos∠CAO=PQ*sin∠ACO，由于cos∠CAO、sin∠ACO为定值，只要保证PQ最大，进而得到PH值最大，转化为求直线段最值问题（即求斜线段转化为求直线段）。 3， 二次函数中求解线段长度的求解方法 根据勾股定理，得到两点间距离公式： 当知道两点坐标时，可以使用该公式进行求解线段长度 当坐标有未知数，需要求坐标时，注意要转化未知数，利用函数表达式，把多个未知数转化成一个未知数进行求解。 【例题】如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积； （3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值． 【分析】（1）根据B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，得出B，C点的坐标，用待定系数法求解析式即可； （2）根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可； （3）求出直线AC的解析式，过点P作PH∥y轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数式求出PE的值，根据二次函数性质求最值即可． 【解答】解：（1）∵B点坐标为（1，0）， ∴OB＝1， 又∵OA＝OC＝3OB， ∴OA＝OC＝3， ∴A（﹣3，0），C（0，﹣3）， 将A，B，C三点代入解析式得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3； （2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3， ∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， 当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4， ∴D点的坐标为（﹣1，﹣4）， ∴|AD|＝＝2，|AC|＝＝3，|CD|＝＝， ∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2， ∴△ACD是直角三角形， S△ABC＝|AC|•|CD|＝×＝3； （3）设直线AC的解析式为y＝sx+t， 代入A，C点坐标， 得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， 如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∵PH∥y轴， ∴∠PHE＝∠OCA＝45°， 设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3）， ∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x， ∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+， ∴当x＝﹣时，PE有最大值为， 此时P点的坐标为（﹣，﹣）． 提升训练： 1如图，抛物线与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D在第一象限内的抛物线上，过点D作DE⊥BC于点E，过点D作DG⊥x轴于点G，交线段BC于点F，若BE＝2EF，求点D的坐标。 2如图，点P是抛物线y＝x2－(2＋m)x＋m（m＞2）与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点E，顶点为D，连接CD，过点O作CD的垂线交抛物线的对称轴于点F，求EF的长． 3在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C． （1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当△PAB面积最大时，求点P的坐标； （2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时， ①求m的取值范围； ②求线段BC长度的最大值． 4如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式； （3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标． 5如图，平面直角坐标系中