(教参)第21章 21.2 课时3 公式法-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步(人教版)

课时3　公式法 学习目标 1. 知道一元二次方程根的判别式的概念 2. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围 3. 经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程 素养目标 通过对公式法的学习，提高数学运算的核心素养，并学会灵活运用转化思想 一、一元二次方程根的判别式 一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac. 当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 两个不等 的实数根； 当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 两个相等 的实数根； 当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 没有 实数根． 1. 一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(　B　) A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 2. 一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是(　D　) A. m＞1 B. m＝1 C. m＜1 D. m≤1 解析：∵方程x2－2x＋m＝0总有实数根， ∴Δ≥0，即4－4m≥0，∴－4m≥－4， ∴m≤1. 3. 不解方程，判定下列一元二次方程根的情况： (1)9x2＋6x＋1＝0； (2)16x2＋8x＝－3； (3)3(x2－1)－5x＝0. 解：(1)∵a＝9，b＝6，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝36－36＝0， ∴此方程有两个相等的实数根． (2)方程化为16x2＋8x＋3＝0. ∵a＝16，b＝8，c＝3， ∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0， ∴此方程没有实数根． (3)方程化为3x2－5x－3＝0. ∵a＝3，b＝－5，c＝－3， ∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝61＞0， ∴此方程有两个不等的实数根． 二、用公式法解一元二次方程 当Δ＝b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可化为　x＝　的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式． 把各系数代入求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 1. 用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是(　D　) A. a＝3，b＝2，c＝3 B. a＝－3，b＝2，c＝3 C. a＝3，b＝2，c＝－3 D. a＝3，b＝－2，c＝3 2. 用公式法解方程x2－6x＋1＝0所得的解正确的是(　D　) A. x＝－3± B. x＝3± C. x＝－3±2 D. x＝3±2 解析：∵a＝1，b＝－6，c＝1， ∴Δ＝(－6)2－4×1×1＝32＞0， 则x＝＝＝3±2. 3. 用公式法解下列方程： (1)2x2＋x－6＝0； (2)5x2－4x＋12＝0. 解：(1)∵a＝2，b＝1，c＝－6， Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝49>0， 方程有两个不等的实数根， ∴x＝＝＝， 即x1＝－2，x2＝. (2)∵a＝5，b＝－4，c＝12， Δ＝b2－4ac＝－224<0， ∴原方程没有实数根． 　　利用根的判别式确定字母的取值范围 关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＝－k2＋2k＋3. 探究1：当k为何值时，方程有两个不等的实数根． 解：原方程化为x2－(2k－1)x＋k2－2k－3＝0，Δ＝(2k－1)2－4(k2－2k－3)＝4k＋13. 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根， 即4k＋13>0，解得k>－. 探究2：当k为何值时，方程有两个相等的实数根． 解：当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根， 即4k＋13＝0，解得k＝－. 探究3：当k为何值时，方程无实数根． 解：当Δ<0时，方程没有实数根， 即4k＋13<0，解得k<－. 1. 若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　D　) A. a＜1 B. a≤1 C. a≤1且a≠0 D. a＜1且a≠0 解析：∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等的实数根， ∴a≠0且Δ＝b2－4ac＝22－4×a×1＝4－4a＞0， 解得a＜1. ∴实数a的取值范围是a<1且a≠0. 2. 关于x的方程x2－2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 1 . 解析：∵关于x的方程x2－2x＋k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4×1×k＝0，解得k＝1. 　　利用根的判别式判断方程根的情况 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. 探究1：求证：方程有两个不等的实数根． 证明：Δ＝[－(m＋2)2]－4×1×(2m－1)＝m2＋4m＋4－8m＋4＝m2－4m＋8＝(m