(教参)第21章 21.2 课时1 直接开平方法-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步(人教版)

21.2　解一元二次方程 课时1　直接开平方法 学习目标 1. 理解直接开平方法的定义和基本思想 2. 会用直接开平方法解一元二次方程 3. 知道形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程可以用直接开平方法求解 素养目标 通过学习，提高数学运算的核心素养，并学会灵活运用类比思想 一、直接开平方法解形如x2＝p的一元二次方程 通过直接将某一个数开平方解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 对于方程x2＝p： (1)当p>0时，方程有两个不相等的实数根x1＝　　，x2＝　－　； (2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝ 0 ； (3)当p<0时，方程 没有 实数根． 1. 方程100x2－1＝0的解为(　A　) A. x1＝，x2＝－ B. x1＝10，x2＝－10 C. x1＝x2＝ D. x1＝x2＝－ 2. 方程2x2＋8＝0的根为(　D　) A. 2 B. －2 C. ±2 D. 没有实数根 3. 解方程：2x2－10＝0. 解：原方程化成x2＝5.开平方，得x＝±. 即x1＝，x2＝－. 二、直接开平方法解形如(x＋n)2＝p的一元二次方程 一元二次方程(x＋n)2＝p的根的情况： 当p≥0时，方程有实数根，此时x＝　－n±　； 当p<0时，方程没有实数根． 1. 一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　D　) A. x－6＝4 B. x－6＝－4 C. x＋6＝4 D. x＋6＝－4 2. 方程2(x＋1)2＝18的解是(　C　) A. 2 B. －4 C. 2或－4 D. ±3 3. 用直接开平方法解方程(x＋h)2＝k，方程必须满足的条件是(　A　) A. k≥0 B. h≥0 C. hk>0 D. k<0 4. 解方程：(x＋3)2－2＝0. 解：移项，得(x＋3)2＝2， 两边直接开平方，得x＋3＝±， ∴x＋3＝或x＋3＝－， ∴原方程的解是x1＝－3，x2＝－－3. 　　直接开平方法解一元二次方程 解方程：(1)9x2－144＝0； (2)4(x＋3)2＝5. 探究1：请尝试解上面的两个方程． 解：(1)移项，得9x2＝144， 系数化为1，得x2＝16， 根据平方根的意义，得x＝±4， ∴x1＝4，x2＝－4. (2)两边同时除以4，得(x＋3)2＝， 即x＋3＝或x＋3＝－， ∴方程的根为x1＝－3＋，x2＝－3－. 探究2：通过上面的探究，请你结合直接开平方法说明解一元二次方程的基本策略是什么？ 解：“降次”是解一元二次方程的基本策略，直接开平方法是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，达到转化为两个一元一次方程的目的． 探究3：能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？方程的解是什么？ 解：如果一个一元二次方程具有(x＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解，方程的解为x1＝－n－，x2＝－n＋. 1. 方程3x2＋27＝0的解是(　C　) A. x＝±3 B. x＝－3 C. 无实数根 D. 以上都不对 2. 方程(x－2)2＝9的解是(　A　) A. x1＝5，x2＝－1 B. x1＝－5，x2＝1 C. x1＝11，x2＝－7 D. x1＝－11，x2＝7 3. 一个球的表面积是100π cm2，求这个球的半径．(球的表面积S＝4πR2，其中R是球的半径) 解：设这个球的半径为R cm， 根据题意，得4πR2＝100π， 两边同时除以4π，得R2＝25，∴R＝±5. ∵R>0，∴R＝5.∴这个球的半径是5 cm. 　　直接开平方法的应用 若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m－4. 探究1：上面方程的两个根有什么关系？ 解：∵ax2＝b，∴x＝±， 又∵a≠0，ab>0，∴a，b都不为零． ∴方程的两个根互为相反数，即m＋1与2m－4互为相反数． 探究2：请尝试求出的值？ 解：由探究1可知m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1， ∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴＝2，∴＝4. 1. 一元二次方程ax2－b＝0(a≠0)有解，则必须满足(　D　) A. a，b同号 B. b是a的整数倍 C. b＝0 D. a，b同号或b＝0 2. 如果一元二次方程x2－7＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是　　. 知识点1：直接开平方法解形如x2＝p的一元二次方程 对于方程x2＝p： (1)当p>0时，方程有两个不等的实数根x1＝，x2＝－； (2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3)当p<0时，方程没有实数根． 【考点诠释】用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定