(教参)第21章 21.1 一元二次方程-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步(人教版)

21.1　一元二次方程 学习目标 1. 理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式 2. 会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题 素养目标 1. 在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识 2. 通过对本课的学习，提高数学抽象、数学建模的核心素养 一、一元二次方程的概念 等号两边都是 整式 ，只含有 一个 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次)的方程． 二、一元二次方程的一般形式 任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是 二次项 ， a 是二次项系数；bx是 一次项 ，b是一次项系数；c是常数项． 三、一元二次方程的根 使方程左右两边 相等 的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是(　D　) A. 3x2＋－1＝0 B. 5x2－6y－3＝0 C. ax2－x＋2＝0　 D. 3x2－2x－1＝0 解析：A选项中含有分式；B选项中含有2个未知数；C选项中的二次项系数有可能为0，只有D选项符合题意． 2. 关于x的方程ax2－3x＋3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是(　B　) A. a＞0 B. a≠0 C. a＝1 D. a≥0 3. 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)2x2＝1－3x； (2)5x(x－2)＝4x2－3x. 解：(1)2x2＝1－3x的一般形式为2x2＋3x－1＝0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－1. (2)5x(x－2)＝4x2－3x的一般形式为x2－7x＝0，二次项系数为1，一次项系数为－7，常数项为0. 四、根据实际问题列一元二次方程 列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出 未知数 ，准确地找出已知量和未知量之间的 等量 关系，正确地列出方程． 1. 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(　C　) A. x(x－11)＝180　 B. 2x＋2(x－11)＝180 C. x(x＋11)＝180　 D. 2x＋2(x＋11)＝180 2. 某课外生物小组拟定在桃花岭上建立一个实验园地，其形状是长10米、宽6米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图)，要使种植面积为 40平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 x2－11x＋10＝0 .(结果化为一般形式) 解析：把阴影部分分别平移到矩形的上边和左边，可得阴影部分的长为(10－2x)米，宽为(6－x)米， ∴可列方程为(10－2x)(6－x)＝40， 化为一般形式为x2－11x＋10＝0. 　　一元二次方程的相关概念 观察下面给出的方程： (1)3x2－2＝5x； (2)9x2＝16； (3)3x2－2xy－5y2＝0； (4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2. 探究1：判断以上方程是否为一元二次方程？如果不是请说明理由． 解：方程(1)(2)(4)是一元二次方程，方程(3)中含有两个未知数，不是一元二次方程． 探究2：如果是一元二次方程，请把其化为一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：(1)方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2. (2)方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16. (4)方程化为一般形式为x2－3x－1＝0，二次项系数是1，一次项系数是－3，常数项是－1. 1. 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是(　C　) A. x2＋＝1　 B. (2x－1)2＝(x－1)(4x＋3) C. (x－1)(x－2)＝3　 D. ax2＋bx＋c＝0 解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程化简得3x－4＝0，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A，B，D.故选C. 2. 一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是 2x2＋3x－5＝0 . 　　一元二次方程的根 下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的根. x －2 －1 0 1 2 3 … x2－x 6 2 0 0 2 6 … 探究1：根据表格确定一元二次方程x2－x＝2的根． 解：由表格