(教参)第24章 24.1 课时2 垂直于弦的直径-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步(人教版)

课时2　垂直于弦的直径 学习目标 1. 进一步认识圆是轴对称图形 2. 能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题 3. 认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题 素养目标 1. 在探究问题的过程中培养动手操作能力 2. 进一步培养观察问题、解决问题的能力 一、圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的 对称轴 ． 下列命题中，正确的有(　D　) A. 圆只有一条对称轴 B. 圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C. 圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D. 圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 二、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径 平分 弦，并且平分弦所对的 两条弧 ． 推论：平分弦(不是直径)的直径 垂直 于弦，并且 平分 弦所对的两条弧． 如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝(　B　) A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 三、垂径定理的应用 在垂径定理的应用中，常涉及弦长a、弦心距d(圆心到弦的距离)、半径r及弓形高h(弦所对的弧的中点到弦中点的距离)这四者之间的关系．应用时，常构造直角三角形，利用勾股定理求解．如图所示，它们的关系为r2＝　d2＋　，r＝ d＋h . 在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝160 cm，则油的最大深度为(　A　) A. 40 cm B. 60 cm C. 80 cm D. 100 cm 解析：如图，连接OA，过点O作垂直于AB的半径OD，交AB于点C. 则AC＝AB＝×160＝80(cm)， OA＝OD＝×200＝100(cm)． 在Rt△OAC中，OC2＋AC2＝OA2， 即OC2＋802＝1002.∴OC＝60 cm. ∴CD＝OD－OC＝100－60＝40(cm)． 即油的最大深度为40 cm. 　　垂径定理的性质与推论 动手操作：把课前准备的圆形纸片(⊙O)对折，使圆的两半部分重合；把得到的折痕记作CD；在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，沿垂线折叠，得到新的折痕，两条折痕的交点为M，即垂足为M.将纸片打开，新的折痕与圆交于另一点A′.(如下图所示) 探究1：垂径定理的条件和结论分别是什么？ 解：条件：①过圆心；②垂直于弦． 结论：③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧． 探究2：条件改为①过圆心；③平分弦．结论改为②垂直于弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这个命题正确吗？说明理由． 解：不正确．理由：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下列结论不成立的是(　D　) A. CM＝DM B. ＝ C. ∠ACD＝∠ADC D. OM＝MD 　　垂径定理的应用 如图是“明清影视城”的圆弧形门示意图，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆的圆心到地面的距离等于半径，AB＝CD＝20 cm，BD＝200 cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的． 探究：根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度． 解：如图，连接AC，作AC的垂直平分线交AC于点G，交BD于点N，交圆的另一点为M，则MN为圆弧形所在圆的直径，取MN的中点O，则点O为圆心，连接OA，OC. ∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD. ∵AB＝CD，∴四边形ABDC为矩形． ∴AC＝BD＝200 cm，GN＝AB＝CD＝20 cm. ∴AG＝GC＝AC＝100 cm. 设⊙O的半径为r cm，由勾股定理，得 OA2＝OG2＋AG2， 即r2＝(r－20)2＋1002， 解得r＝260， ∴MN＝2r＝520 cm. 所以这个圆弧形门的最高点离地面的高度是520 cm. 如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在⊙O的半径． 解：由垂径定理得BF＝AB＝1.5 m， OE⊥AB，设圆O的半径为x m， 则OF＝(x－1)m. 在Rt△OBF中，根据勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2， 解得x＝1.625. 即⊙O的半径是1.625 m. 知识点1：圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 【考点诠释】圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线． 知识点2：垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并