(教参)第23章 阶段任务性复习 图形的旋转模型-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步(人教版)

图形的旋转模型 问题：完成下列1～4题，想一想旋转有哪些性质和模型？ 1. 如图，已知△OAB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合得到△OCD，则旋转的角度是(　A　) 第1题图 A. 150° B. 120° C. 90° D. 60° 2. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度，得到△ADE.若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为(　C　) 第2题图 A. 60° B. 75° C. 85° D. 90° 3. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝110°，则α＝ 20° . 解析：由∠1的度数可以求出∠1的对顶角为110°，然后根据四边形的内角和为360°，可得∠BAD′＝360°－(90°＋90°＋110°)＝70°，所以α＝90°－70°＝20°. 4. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,3)，点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B的对应点分别是E，F. (1)若点B的坐标是(－4,0)，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标； (2)当点F落在x轴上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标． 解：(1)如图，△AEF就是所求作的三角形． 点E的坐标是(3,3)，点F的坐标是(3，－1)． (2)答案不唯一，如B(－2,0)等． 模型1　基于“半角”的旋转 在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角，小角正好是大角的一半．当面对这样的信息时，往往可以考虑使用旋转变换，并且旋转后，往往还有一对轴对称的全等三角形出现，此时，很多问题即可迎刃而解了． 此类问题解题的思路：半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形． 【例1】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.设E，F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE，BF和EF之间的数量关系，并说明理由． 解：AE2＋BF2＝EF2.理由如下： 如图，将△OFB绕点O顺时针旋转90°，得△OHA，连接HE， ∴OH＝OF，AH＝BF，∠BOF＝∠AOH. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，∠AOB＝90°. ∵∠EOF＝45°， ∴∠AOE＋∠BOF＝∠AOB－∠EOF＝90°－45°＝45°. ∴∠AOE＋∠AOH＝∠EOH＝45°. ∴∠EOH＝∠EOF. 在△EOH和△EOF中， OH＝OF，∠EOH＝∠EOF，OE＝OE， ∴△EOH≌△EOF(SAS)． ∴EH＝EF. 在Rt△AEH中，由勾股定理得EH2＝AH2＋AE2，∵AH＝BF， ∴AE2＋BF2＝EF2.　 【练习】 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角(∠BDC)为120°的等腰三角形，以D为顶点作60°角，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，试探究BM，MN，NC之间的关系，并说明理由． 解：MN＝BM＋NC.理由如下： 如图，延长NC到点E，使CE＝BM，连接DE. ∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角(∠BDC)为120°的等腰三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝＝30°.∴∠DBM＝∠DCE＝90°. 又∵DB＝DC，∴△DBM≌△DCE. ∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE. ∴∠EDN＝∠CDN＋∠CDE＝∠CDN＋∠BDM＝60°. ∵DM＝DE，∠MDN＝∠EDN，DN＝DN， ∴△DMN≌△DEN，∴MN＝EN， ∴MN＝NC＋CE＝BM＋NC. 模型2　基于“等边三角形”的旋转 将等边三角形内的一个小三角形旋转60°，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形． 通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决． 【例2】如图，P为等边三角形ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数． 解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°. 如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得△ADB，连接DP， 得AD＝AP＝2，DB＝PC＝，∠DAP＝60°， ∴△ADP为等边三角形． ∴DP＝AP＝2，∠DPA＝60°. 在△DPB中，DB＝， BP＝1，DP＝2， ∴DB2＋BP2＝DP2. ∴∠DBP＝90°. 又∵BP＝DP， ∴∠BDP＝30°， ∴∠DPB＝60°. ∴∠APB＝∠DPB＋∠DPA＝60°＋60°＝120°. 【练习】 1. 如图，边长为2的等边三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到△A1B1O，则点A1的坐标为(　B