(教参)第22章 22.1 课时7 用待定系数法确定二次函数解析式-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步(人教版)

课时7　用待定系数法确定二次函数解析式

一、利用“三点式(一般式)”求二次函数解析式

当题目给出函数图象上的三个点时，通常选用一般式，设解析式为 y＝ax2＋bx＋c ，列出关于a，b，c的一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值．

1. 二次函数y＝ax2＋k的图象经过点(1，－6)和(2,3)，则此二次函数的解析式为(　A　)

A. y＝3x2－9   B. y＝3x2＋9

C. y＝－3x2－9   D. y＝－3x2＋9

2. 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1,1)，求这个二次函数的解析式．

解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意，得Error!

解这个方程组，得Error!

∴这个二次函数的解析式为y＝2x2＋3x－4.

二、利用“顶点式”求二次函数解析式

若已知抛物线的顶点、对称轴或最值，一般选用顶点式，设解析式为 y＝a(x－h)2＋k .顶点坐标为(h，k)，对称轴为x＝h，当x＝h时最值为y最值＝k.

1. 若二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，且过点(0,3)，则此二次函数的解析式是(　C　)

A. y＝－(x－2)2－1

B. y＝－(x－2)2－1

C. y＝(x－2)2－1

D. y＝(x－2)2－1

解析：设y＝a(x－2)2－1，把(0,3)代入得4a－1＝3，解得a＝1，所以所求的二次函数的解析式为y＝(x－2)2－1.故选C.

2. 已知二次函数的图象的顶点是(－2,3)，且过点(－1,5)，求这个二次函数的解析式．

解：设这个二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵图象的顶点是(－2,3)，

∴h＝－2，k＝3，即y＝a(x＋2)2＋3.

将点(－1,5)代入得5＝a(－1＋2)2＋3，

解得a＝2，

∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.

三、利用“交点式”求二次函数解析式

若已知抛物线与x轴两个交点坐标，一般选用交点式，设解析式为 y＝a(x－x1)(x－x2) (a，x1，x2为常数，a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标．

1. 已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1,0)和(2,0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，则该二次函数的解析式为 y＝x2－x－2 .

2. 已知二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别是－2和3，且函数有最小值－3，求该二次函数的解析式．

解：设该函数的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)．

由题意，得y＝a(x＋2)(x－3)＝ax2－ax－6a.

∵y有最小值－3，

∴＝－3，

∴a＝.

∴所求函数解析式为y＝x2－x－.

　　用待定系数法求二次函数解析式

如图，已知抛物线的顶点为A(1,4)，抛物线与y轴交于点B(0,3)，与x轴交于C，D两点．点P是x轴上的一个动点．

探究1：求此抛物线的解析式．

解：∵抛物线的顶点为(1,4)，

∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4.

∵抛物线过点B(0,3)，

∴3＝a(0－1)2＋4，解得a＝－1.

∴此抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4，

即y＝－x2＋2x＋3.

探究2：当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．

解：如图，作点B关于x轴的对称点E(0，－3)，连接AE交x轴于点P，则