(教参)第21章 21.2 课时5 一元二次方程的根与系数的关系-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步(人教版)

*课时5　一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 1. 理解一元二次方程根与系数之间关系的推导过程 2. 掌握一元二次方程根与系数的关系 3. 能够不解方程，应用根与系数之间的关系解决问题 素养目标 通过将一元二次方程的根与系数联系起来，理解转化思想，提高数学运算、数学抽象的核心素养 一、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 1. 若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是(　A　) A. －10 B. 10 C. －16 D. 16 2. 已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于(　C　) A. －4 B. －1 C. 1 D. 4 3. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋2x＋1＝0； (2)2x2＋3＝7x2＋x； (3)5x－5＝6x2－4. 解：(1)x1＋x2＝－2，x1x2＝1. (2)x1＋x2＝－，x1x2＝－. (3)x1＋x2＝，x1x2＝. 二、一元二次方程的根与系数的关系的应用 ①x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2； ②＋＝； ③(x1＋a)(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2； ④|x1－x2|＝＝ . 1. 关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(　D　) A. －1或5 B. 1 C. 5 D. －1 解析：设方程两根为x1，x2，由题意，得x＋x＝5. ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5. ∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a， ∴a2－2×2a＝5， 解得a1＝5，a2＝－1. 又∵Δ＝a2－8a， ∴当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5. 当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a＝－1.故选D. 2. 已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x－x； (2)＋. 解：(1)x－x＝(x1＋x2)2－4x1x2＝32－4×(－1)＝13. (2)＋＝＝＝－3. 　　利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值 已知方程2x2＋5x－6＝0的两个根为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝－3. 探究1：求代数式(x1－2)(x2－2)的值． 解：(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2x1－2x2＋4＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝－3－2×＋4＝6. 探究2：求代数式＋的值． 解：＋＝＝＝ ＝－. 探究3：若x1，x2是某个一元二次方程的两个根，且x1＋x2＝－，x1x2＝－3，你能写出一个这样的一元二次方程吗？ 解：因为x1＋x2＝－，x1x2＝－3，如果令方程ax2＋bx＋c＝0中的a＝1，那么－b＝－，c＝－3，∴方程可以为x2＋x－3＝0.(答案不唯一) 1. 设m，n是方程x2＋x－2 021＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为(　C　) A. 2 018 B. 2 019 C. 2 020 D. 2 021 解析：∵m，n是方程x2＋x－2 021＝0的两个实数根， ∴m＋n＝－1，m2＋m－2 021＝0， ∴m2＋m＝2 021， ∴m2＋2m＋n＝m2＋m＋m＋n＝2 021－1＝2 020. 2. 已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可以是(　D　) A. x2－6x＋8＝0 B. x2＋9x－1＝0 C. x2－x－6＝0 D. x2＋x－20＝0 解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1x2＝－20.如果令方程ax2＋bx＋c＝0中的a＝1，那么－b＝－1，c＝－20，∴方程为x2＋x－20＝0.故选D. 　　根的判别式与根与系数关系的综合应用 已知关于x的一元二次方程(x－m)2＋6x＝4m－3有实数根． 探究1：求m的取值范围． 解：方程化为x2＋(6－2m)x＋m2－4m＋3＝0，根据题意，得Δ＝b2－4ac＝(6－2m)2－4×1×(m2－4m＋3)＝－8m＋24≥0，解得m≤3. 探究2：设方程的两实根分别为x1与x2，若x1x2－x－x＝－7，求m的值． 解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝2m－6， x1x2＝m2－4m＋3， ∵x1x2－x－x＝－7， ∴x1x2－(x1＋x2)2＋2x1x2＝－7， 即3x1x2－(x1＋x2)2＝－7， ∴3(m2－4m＋3)－(2m－6)2＝－7， 整理，得m2－12m＋20＝0， 解