第05讲 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第05讲 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质 1. 了解直线与圆的三种位置关系； 2. 了解圆的切线的概念； 3. 掌握直线与圆位置关系的性质。 知识点1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点2 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点3 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点4 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D C 【题型1 直线与圆的位置关系的判定】 【典例1】（2023•滨江区二模）已知⊙O的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1-1】（2023•淮阴区一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式1-2】（2023春•市南区校级月考）如果一个圆的直径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式1-3】（2022秋•青山湖区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（　　） A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【典例2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式2-1】（2023•重庆）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是（　　） A．3 B． C． D．6 【变式2-2】（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（　　） ​ A．2 B．2 C．3 D．3 【变式2-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，，则线段AB的长是（　　） A． B． C．3 D．6 【典例3】（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的度数为（　　） A．42° B．45° C．46° D．48° 【变式3-1】（2023•平房区三模）如图，PE、PG为⊙O的两条切线，E、G为切点，点F为⊙O上一点．连接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，则∠P的度数为（　　） ​ A．52° B．56° C．66° D．76° 【变式3-2】（2023•邵阳模拟）如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过点C的切线与AB的延长线交于点P，则∠P的度数是（　　） A．​24° B．25° C．28° D．31° 【变式3-3】（2023•原平市模拟）如