第01讲 勾股定理（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第01讲 勾股定理 1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法； 会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系； 3.能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【题型1已知直角的两边长，求第三边长】 【典例1】（2022八下·灌阳期末）在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-1】（2022八下·福州期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，b＝8，则c的值是（　　） A．10 B．2 C．2 D．4.8 【变式1-2】（2022八下·兴仁月考）在一个直角三角形中，斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，则另一条直角边的长为（　　） A． B．12 C．9 D．8 【变式1-3】（2022秋•雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（　　） A．13 B．119 C．169 D．119或169 【题型2 直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】 【典例2】（2022秋•南关区校级期末）如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（　　） A．7 B．5 C．25 D．1 【变式2-1】（2022秋•浑南区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3的值为（　　） A．13 B．17 C．7 D．169 【变式2-2】（2022秋•兴庆区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（　　） A．18 B．48 C．65 D．72 【变式2-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 　 cm2． 【题型3 等面积法求直角三角形斜边上的高】 【典例3】（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（　　） A．6 B． C． D． 【变式3-1】（2022秋•杭州期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　） A．6 B．8 C．13 D． 【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15． 求：（1）CD的长； （2）AD的长． 【题型4 作无理数的线段】 【典例4】（2022八上·兴平期中）如图，是直角三角形，点C在数轴上对应的数为，目，，若以点C为圆心，为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（　　） A．0.4 B． C． D． 【变式4-1】（2022八上·历城期中）如图，点表示的数为，则（　　） A． B．-1 C． D． 【变式4-2】（2022八上·薛城期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2022八上·埇桥期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，CD＝1，则a的值为（　　） A． B．﹣1 C．1 D．﹣1 【题型5 勾股定理的证明】 【典例5】勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理． 【变式5-1】（2022八上·历城期中）如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角