2.2 基本不等式（ 七种常考题型）-【初升高衔接】2023年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

2.2基本不等式（七种常考题型） 知识点1 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 知识点2 基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 题型一 直接法求最值 1．已知a、，且，则ab的最大值是____________. 2．已知a，b为两个正实数，且，则的最大值为__________． 3．已知，，且，则的最大值是_____. 5．已知，，若，则的最小值为______. 6．的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．试题）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 8．已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 题型二 配凑法求最值 9．的最小值为______． 10．已知，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 11．的最小值等于（    ） A．3 B． C．2 D．无最小值 12．当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 13．已知，则的最小值为______. 14．已知，那么的最小值为__________． 15．已知，则的最大值为________. 题型三 “1”的代换求最值 16．正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．7 C． D． 17．已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 18．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．设为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．已知，，，则的最小值为______. 21．（多选）已知且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为6 D．的最小值为4 22．若正实数， 满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值. 23．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为______． 24．已知函数（），则它的最小值为______. 题型四 商式求最值 25．函数的值域是__________. 26．若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 27．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 28．求的最小值______. 29．当时，函数的最小值为_________. 30．的最大值为______. 31．（1）求函数的最小值及此时的值； （2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值. 32．函数的最小值为_______________ 题型五 利用基本不等式证明不等式 33．已知，，，且．求证：． 34．已知是正实数. (1)若，证明：； (2)证明：. 35．若正数a，b，c满足. (1)求的最大值； (2)求证：. 36．设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 37．已知，，且，求证：. 38．已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 题型六 利用基本不等式求解实际问题 39．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本已知购买m台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备（    ） A．100台 B．200台 C．300台 D．400台 40．已知某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），那么f（Q）的最小值是___________． 41．常州在中国工业大奖和工业强基工程项目双双位列全国地级市第一，已知常州某零件装备生产企业2023年的固定成本为2500万元，每生产100x件零件，需另投资(单位：万元)，经计算与市场评估得，调查发现，零件装备售价5万元，且全年内生产的零件装备当年能全部销售完(其中). (1)预测出2023年的利润(单位：万元)的函数表达式(利润=销售额—成本)； (2)当2023年装备产量为多少时，常州该企业所获利润最大？并求出最大利润. 42．某中学计划在劳动实习基地的空地上用篱笆围出一个面积为的矩形菜地，则需要的篱笆长度至少是___________m. 43．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污