第02讲 函数的单调性与最大（小）值（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第02讲　函数的单调性与最大（小）值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 一．确定函数的单调性 命题点1　求具体函数的单调区间 例1．（1）函数 的单调递减区间为（     ） A． B． C． D． （2）函数的单调递增区间是(　 　) A． B．和 C．和 D．和 （3）函数y＝x2(x－3)的单调递减区间是(　 　) A．(－∞，0) B．(2，＋∞) C．(0，2) D．(－2，2) （4）函数得单调递增区间是（ ） A． B． C． D． （5）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【复习指导】：　(1)函数单调区间的两种求法 ①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． ②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． (2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． (3)复合函数单调性的判断方法：同增异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数；异：内外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）. 命题点2　判断或证明函数的单调性 例2．（1）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（     ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 （2）已知函数． ①用定义法证明:在上单调； ②求在上的最大值与最小值． （3）已知函数． ①试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； ②对任意时，都成立，求实数的取值范围． （4）试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． （5）已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增． （6）已知定义域为，对任意都有，当时，，. ①求和的值； ②试判断在上的单调性，并证明； ③解不等式：. 【复习指导】：确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断或证明函数单调性的步骤： (2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 二．函数单调性的应用 命题点1　比较函数值的大小 例3．（1）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（     ） A． B． C． D． （2）已知函数，若，则（     ） A． B． C． D． （3）已知函数，,若，则a,b,c的大小关系为（     ） A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a （4）已知，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． （5）函数是上的减函数，若，，，则（ ） A． B． C． D． （6）(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 [高考改编题]　已知2a＋log2a>4b＋2log4b＋1，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a<b2