重难点04点面、线面、面面、异面直线的距离（4种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

重难点04点面、线面、面面、异面直线的距离（4种题型） 【知识梳理】 点到平面的距离求解方法：直接作出点到平面的垂线段，然后求出垂线段的长度，而在作点面垂直时，通常先找面面垂直，然后作两个面交线的垂线，利用面面垂直的性质，即可找出垂线段。 空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离.在这些距离当中，点到平面的距离显得尤为重要，在高考中也经常出现，并且线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解。因此，点面距离就成了这一类距离问题的交汇点。 【考点剖析】 题型一：点面距离 1．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）已知线段在平面外，、两点到平面的距离分别为1和3，则线段的中点到平面的距离为___________. 2．（2021·上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，∠ACB=∠BCC1=90°，四边形ACC1A1是菱形，∠ACC1=120°. (1)证明：A1C⊥AB1； (2)若AC=2，求点C1到平面ABB1A1的距离. 3．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成二面角的大小为60. (1)证明：； (2)求底面中心到侧面的距离. 4．（2021·上海市行知中学高二期中）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆О上一点，且AB＝BC＝5，CD＝3． (1)求该圆柱的侧面积； (2)求点B到平面ACD的距离． 题型二：线面距离 5．（2021·上海静安·高二期末）如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求A1B1到底面ABCD的距离. 6．（2021·上海·高二专题练习）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设； （1）求的值； （2）求直线到平面的距离. 题型三：面面距离 7．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，正方体中，. （1）求证：平面平面； （2）求两平面与之间的距离. 题型四：异面直线的距离 8．（2021·上海·华师大二附中高二期中）若正四面体的棱长为，则异面直线与之间的距离为____________. 9．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________． 【过关检测】 一、填空题 1．（2023·上海·高二专题练习）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，空间中一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP的长为______ 2．（2023·上海·高二专题练习）已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为______. 3．（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为_________． 4．（2023春·上海奉贤·高二校考阶段练习）正四面体ABCD的各棱长均为3，则点A到平面BCD的距离为__________ 5．（2023秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）在正四棱柱中，，，则点A到平面的距离为_____. 二、解答题 6．（2022秋·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若， . (1)求证：四棱锥为阳马； (2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积； (3)当阳马的体积最大时，求点到平面的距离. 7．（2023·上海·高二专题练习）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆О上一点，且AB＝BC＝5，CD＝3． (1)求该圆柱的侧面积； (2)求点B到平面ACD的距离． 8．（2023·上海·高二专题练习）如图，三棱锥P−ABC中，底面ABC是正三角形，底面ABC，平面PBC，垂足为G． (1)G是否可能是的垂心？请说明理由； (2)若G恰是的重心，且的边长为2，求点C到平面ABG的距离． 9．（2023·上海·高二专题练习）已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成二面角的大小为60. (1)证明：； (2)求底面中心到侧面的距离. 10．（2023·上海·高二专题练习）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1，ABB1A1均为正方形，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，点D是棱的A1C1中点. (1)求证：平面AB1D⊥平面ACC1A1； (2)求证：BC1∥平面AB1D； (3)求点A1到平面AB1D的距离. 11．（2023·上海·高二专题练习）如图，三棱柱