重难点01线线角、线面角、二面角问题-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

重难点01线线角、线面角、二面角问题 【知识梳理】 1．求两条异面直线所成的角的步骤 （1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）； （4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． 2.求直线和平面所成角的关键 作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。 3.找二面角的平面角的常用方法 （1）由定义做出二面角的平面角 （2）用三垂线定理找二面角的平面角 （3）找公垂面 （4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 【考点剖析】 题型一：求异面直线所成的角 1．（2021·上海·格致中学高二期中）设E是正方体的棱的中点，在棱上任取一点P，在线段上任取一点Q，则异面直线PQ与BD所成角的大小为______． 2．（2021·上海中学高二期中）正方体中，异面直线与BD所成角大小为______ 3．（2022·上海浦东新·高二期末）如图，在正方体中. (1)求异面直线和所成的角的余弦值； (2)求证：直线平面. 4．（2021·上海中学高二阶段练习）如图，长方体中，，，点为的中点． (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线与AP所成角的大小. 题型二：线面角 1．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，垂直于底面，，、分别为、的中点. （1）求证：； （2）求与平面所成的角. 2．（2021·上海市进才中学高二期中）已知正四棱锥中，，； (1)求侧棱与底面所成角的正弦值； (2)求正四棱锥的体积 题型三：二面角 1．（2021·上海·西外高二期中）在正方体中，二面角的大小是___________. 2．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA、OB、两两垂直（OA、OB、均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓． (1)若木板较长的一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？ (2)应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值． 3．（2021·上海·格致中学高二期中）在四棱锥中，底面为梯形，，为正三角形，且，，四棱锥的体积为． (1)求证：平面； (2)求PC与平面ABCD所成角的正弦值； (3)设平面平面，求证：，并求二面角的大小． 4．（2021·上海中学高二期中）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是线段AB、CD的中点，，，将沿DM翻折，在翻折过程中A点记为P点． (1)从翻折至的过程中，求点P运动的轨迹长度； (2)翻折过程中，二面角P−BC−D的平面角为θ，求的最大值. 【过关检测】 一．填空题（共6小题） 1．（2022秋•黄浦区校级月考）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 　 　． 2．（2021秋•黄浦区校级期中）设E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CC1的中点，在棱AA1上任取一点P，在线段A1E上任取一点Q，则异面直线PQ与BD所成角的大小为 　 　． 3．（2023春•虹口区期末）已知E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱CC1的中点，则直线A1E与平面ABCD所成的角的大小等于 　 　． 4．（2022•静安区校级开学）空间四边形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，则异面直线AB与CD所成的角的大小为 　 　． 5．（2022•浦东新区校级开学）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、AB的中点，则异面直线EF和C1D所成角的大小为 　 　． 6．（2021秋•嘉定区校级期中）如图的四面体OABC中，所有棱长均相等，每个面都是全等的正三角形，M，N分别是棱OA，BC的中点，则直线OA与平面CMN所成角的大小为 　 　． 二．解答题（共11小题） 7．（2022•徐汇区校级开学）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，CD中点为E． （1）求异面直线A1C与BB1所成角； （2）求异面直线A1C与D1E所成角．（长方体体对角线长为，其中a，b，c