第05讲 线段、角的对称性（十三大题型）-2023-2024学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏科版）

第05讲 线段、角的对称性（十三大题型） 一、线段的垂直平分线 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 线段垂直平分线的尺规作图 求做线段AB的垂直平分线 作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 二、线段的垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 　要点： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理 　　和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合． 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心． 四、角的平分线的性质 　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点：用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 五、角的平分线的逆定理 　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点：用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 六、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 题型1：线段垂直平分线的性质 1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图所示，在中，的垂直平分线交于点E，若，则B、E两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，的平分线交于点D，如果垂直平分，那么（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，，求的长．    5．如图，中，，，的垂直平分线分别交、于点、．求的度数． 题型2：线段垂直平分线的性质的应用 6．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（   ） A．AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边中线的交点处 C．AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．∠A，∠B两内角平分线的交点处 7．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为（　　） A．16cm B．18cm C．26cm D．28cm 8．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的周长是（    ） A．120 B．50 C．100 D．90 9．如图，为中边的中垂线，，则的周长是（    ） A．16 B．18 C．26 D．28 题型3：线段垂直平分线—尺规作图 10．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，连接，交于点，交于点，连接．若的周长等于，的周长为，那么线段的长等于（    ） A． B． C． D． 11．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线交于点D，连接． 若，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．14 12．小明在纸上画出线段及它的中点O，再过点O画出与垂直的直线，沿直线将纸对折．发现与重合，则直线称为线段的__________． 题型4：线段垂直平分线的判定 13．在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于__________ 14．如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是_______． 15．如图，中，，平分，于E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 题型5：线段垂直平分线的判定与性质综合题 16．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（    ） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB