2.2.1 圆的对称性-圆的对称性与垂径定理（八大题型）-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏科版）

2.2.1圆的对称性-圆的对称性与垂径定理 考点一、圆的对称性 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心； 圆也是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 考点二、垂径定理 ( AE=BE )1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 如图，几何语言为： ( CD ⊥ AB )CD是直径 要点： 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 考点三、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 题型1：垂径定理的有关概念 1．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（    ） A．AE＝BE B．OE＝DE C． D． 2．下列说法中正确的个数有（） ①平分弦的直径一定垂直于弦；②圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；③直径是弦；④长度相等的弧是等弧 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列几个命题：①圆是轴对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④三点确定一个圆．其中是真命题的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型2：利用垂径定理求值1 4．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 5．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB于点C，则OC＝（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 6．如图，⊙O的半径为6cm，将圆沿着弦AB折叠，圆弧AB正好经过圆心O，则弦AB的长度为（　　） A．3 B．3 C．6 D．3 7．如图，是的弦，半径于点，且的长是（    ） A． B． C． D． 题型3：利用垂径定理求值2-与其他几何知识结合 8．如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为（    ） A．4 B． C． D． 9．如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 10．如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（    ） A．8 B．4 C． D． 11．如图，已知的半径为5，为的弦，，点C在上，且满足，交于点D，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 题型4：利用垂径定理求平行弦问题 12．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 13．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．34 14．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______． 15．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 题型5：利用垂径定理求其他问题 16．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 17．将半径为5的圆形纸片，按如图方式折叠，若和都经过圆心，则图中阴影部分的面积是(    ) A． B． C． D． 18．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 19．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（    ） A．B． C． D． 20．如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，的延长线经过格点D，则的长为（    ） A． B．