第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（7类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课程标准 学习目标 ①理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量. ②会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题. 1. 通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念并会求出直线的方向向量与平面的法向量. 2. 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明. 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 【即学即练1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，设，则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得，则. 故选：B． 知识点03：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 【即学即练2】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知平面α的一个法向量为，则AB所在直线l与平面α的位置关系为（　　）. A． B． C． D．l与α相交但不垂直 【答案】A 【详解】因为，所以，即，所以. 故选：A 知识点04：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________. 【答案】 【详解】∵l⊥α，则∥， 则，解得. 故答案为：. 题型01平面的法向量及其求法 【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）已知正方体的棱长为 1， 以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023春·高二课时练习）如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，为中点，则平面的单位法向量______．（用坐标表示） 【变式1】（2023春·高二课时练习）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（    ） A．(1，－1，1) B．(2，－1，1) C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1) 【变式2】（2023春·高二课时练习）已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，求平面的一个法向量． 题型02利用向量方法证明线线平行 【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在正四棱柱中，,，点为的中点，点F为的中点． (1)求证：且； (2)求证：． 【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，，，点、在棱、上，且，，点、分别为、的中点．求证：直线直线． 【典例3】（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体的底面是一个直角梯形，其中,,,，且底面，与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若垂直于，证明：； (3)在（2）的条件下，上是否存在点，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存