第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（12类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课程标准 学习目标 ①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义 ②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算 ③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明 利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具. 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 【即学即练1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________． 【答案】 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有. 所以向量用坐标形式表示为. 故答案为： 知识点02：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 【即学即练2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】因为，，且， 所以，即，即，解得. 故答案为： 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，，. (1)求x，y，z的值； (2)求向量与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，，， ， 因为，设存在实数，使得， 所以，则. 因为，，则. ∴所以. （2）由（1）知，，， ∴，， ∴， ，， ∴. ∴向量与所成角的余弦值为. 4、两点间的距离公式 已知，则 题型01空间向量的坐标表示 【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点在平面内，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知点，，点满足，则点的坐标是________. 【变式1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于 A． B． C． D． 【变式2】（2023春·高二课时练习）若､，点在线段上，且，则点的坐标是___________. 题型02空间向量的坐标运算 【典例1】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，求： (1)； (2)； (3). 【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知点、，且满足，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积） 【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量，满足条件，则（