3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系（第1课时 夹角问题）（同步练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

3.4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系（第一课时夹角问题）随堂练习 一、单选题 1．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（    ） A． B． C． D． 2．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．设两条异面直线、的方向向量分别为，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（    ） A． B． C．或 D． 5．桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁．桁架桥一般由主桥架、上下水平纵向联结系、桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（    ）．    A． B． C． D． 7．设正方体中E，F分别是棱，中点，G为上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（    ） A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 二、多选题 9．若两条异面直线所成的夹角为，这两条异面直线所在的方向向量的夹角可能为（    ） A． B． C． D．不一定 10．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．在三棱锥中，BA，BC，BD两两垂直，，，则二面角的正切值为______． 12．已知向量分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若，则直线l与平面α所成角的大小为___. 13．如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为______.    14．如图1，在直角梯形中，，，，，，为中点，现沿平行于的折叠，使得，如图2所示，则关于图2下列结论正确的有______．    ①平面         ②该几何体为三棱台 ③二面角的大小为     ④该几何体的体积为 四、解答题 15．如图所示，在多面体中，四边形均是边长为1的正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于F. (1)求二面角的余弦值； (2)试确定点F的位置，并求直线与平面所成的角的正弦值. 16．如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为，，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱的三条侧棱均为圆柱的母线，且，点在轴上运动． (1)证明：不论在何处，总有； (2)当为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系（第一课时夹角问题）随堂练习 一、单选题 1．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面角的正弦值等于线与面法向量夹角余弦值的绝对值求解即可. 【详解】令直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的夹角为， ，，. 故选：C 2．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则,,,, ∴,, ∴, 故选： 3．设两条异面直线、的方向向量分别为，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量法可求得与所成的角的大小. 【详解】因为两条异面直线、的方向向量分别为，， ， 所以与所成的角的余弦值为， 所以，与所成的角为. 故选：C. 4．已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据两平面夹角与其法向量夹角的关系，利用向量夹角公式即可得到答案. 【详解】，因为向量夹角范围为， 故两向量夹角为，故两平面夹角为，即， 故选：B. 5．桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁．桁架桥一般由主桥架、上下水平纵向联结系、桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值. 【详解】以E为坐标原点，EB，ED，EI所