3.4.1直线的方向向量与平面的法向量（同步练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

3.4.1直线的方向向量与平面的法向量随堂练习 一、单选题 1．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 2．在如图所示的坐标系中，为正方体，给出下列结论： ①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为.其中正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．设直线与平面相交,且的方向向量为,的法向量为,若,则与所成的角为(   ) A． B． C． D． 4．若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，，则直线的一个方向向量可以为（    ） A． B． C． D． 7．已知平面内的两个向量= (2，3，1)，= (5，6，4)，则该平面的一个法向量为（    ） A．(1，－1，1) B．(2，－1，1) C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1) 8．空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．已知点，，在平面内，则下列向量为的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 10．（多选题）在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是（    ） A．直线 的一个方向向量为(0，0，1) B．直线的一个方向向量为(0，1，1) C．平面的一个法向量为(0，1，0) D．平面的一个法向量为(1，1，1) 三、填空题 11．已知点，都在直线上，写出一个直线的方向向量：_______. 12．如图，在长方体中，，，点在棱上移动．平面一个法向量为__________. 13．已知平面的一个法向量，点，在平面内，则_________. 14．已知平面与平面是不重合的两个平面，若平面α的法向量为，且，，则平面与平面的位置关系是________. 四、解答题 15．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.    16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量. 试卷第1页，共3页 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4.1直线的方向向量与平面的法向量随堂练习 一、单选题 1．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设，则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得，则. 故选：B． 2．在如图所示的坐标系中，为正方体，给出下列结论： ①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为.其中正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案. 【详解】设正方体的棱长为，则，，，则与平行，故直线的一个方向向量为，故①正确； 因为，，所以，因为与平行，所以直线的一个方向向量为，故②正确； 因为，，所以，因为是平面的一个法向量，且与平行，所以平面的一个法向量为，故③正确； 因为，，所以， 因为，所以与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故④不正确. 故选：C 3．设直线与平面相交,且的方向向量为,的法向量为,若,则与所成的角为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的方向向量与法向量的夹角和线面角的关系求解即可. 【详解】∵, ∴与的法向量所在直线所成锐角为, ∴与所成的角为. 故选:C. 4．若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算可得，再根据方向向量的定义即可得出结果. 【详解】因为，由共线向量可知与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量， 又，所以是直线l的一个方向向量. 故选：B. 5．已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（    ） A