1.1.1空间向量及其线性运算学案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 一、学习目标 课程标准 学科素养 1. 理解空间向量的概念.(难点) 2.掌握空间向量的线性运算.(重点) 3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用.(重点、难点) 1、数学运算 2、逻辑推理 二、预习提纲：（阅读教材P2P4，完成下列填空，在教材相应位置进行标注后，识记相关内容） 1. 空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度或模： 空间向量的 · (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用 表示. ②字母表示法：用字母,,…表示.若向量的起点A,终点是B,则向量 也可以记作, 其模记为| |或|l . 【思考交流】空间向量与平面向量的关系是怎样的? 2.特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做 , 记为 单位向量 规定 的向量叫做单位向量 相反向量 与 向 量 a 长 度 而 方 向 的向量，叫做的相反向量，记为 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量,都有//. 相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量 . 因此，在空间， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量. 【思考交流】零向量是没有方向的吗? 3.空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 +=+= 减法 -=-= 数乘 当λ>0时，λ= = 当λ<0时，λ= =； 当λ=0时，= 运算律 (其中λ,μ∈R) 交换律：+=+; 结合律：(+)+=+(+),λ()=(λμ); 分配律：(λ+μ)=λ+,λ(+)=λ+λ 名师点津 空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则，空间向量的减法满足三角形法则. 【思考交流】(1)空间中，若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和是什么? (2)由数乘λa=0,能否得出λ=0? 4.共线(平行)向量 (1)空间两个向量共线的充要条件： 对任意两个空间向量,(≠0),// 的充要条件是存在实数λ,使 (2)直线的方向向量：在直线l 上取非零向量,我们把 的非零向量称为直线l 的方向向量. 【思考交流】对于空间向量，，,若//，且，是否可以得到// ? 5.共面向量 (1)共面向量：如图，如果表示向量的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量平行于直线l. 如果直线OA 平行 于平面α或在平面α内，那么称向量平行于平面a. 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. (2)向量共面的充要条件：如果两个向量， 不共线，那么向量与向量， 共面的充要条件是 存在唯一的有序实数对(x, y),使 【思考交流】 已知空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,存在有序实数对(x,y)，满足关系 =+x+y,则点P 与点A，B，C是否共面? 三、合作探究 深度学习 学习目标一： 空间向量的概念 例1 下列命题中正确的个数是(　　) ①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面； ③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. A．0 B．1 C．2 D．3 学习目标二：空间向量的线性运算 例2 如图， E,F分别是长方体ABCD-A'B'C'D′ 的棱AB,CD 的中点.化简下列表达式， 并在图中标出化简结果： (1) ; (2)++; (3)+; (4)+. 学习目标三：空间向量共性及判定 例3 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2， F在对角线A1C上，且＝，求证：E，F，B三点共线. 学习目标四：空间向量共面及判定 例4如图1.1-9,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD， 在四条射线上分别取点E,F,G,H，使..求证： 四点共面，只需证明EH, 求证：E,F,G,H 四点共面. 四、归纳小结： 1.知识点: 2.方法技巧： 3.数学思想： 五、当堂检测：教材P5练习T4，T5 学科网（北京）股份有限公司 $