2023年中山大学强基计划测试数学试题

2023年中山大学强基计划测试数学试题 备注：2023年7月1日，数学总共4道解答题，考试时间为45分钟. 1.已知n∈*，求∑[”+2] 2+r 2.求证：7不整除2m+1,n∈N* 3.解方程：c0s2x+c0s22x+c0s23x=1 4.解不等式： 4x2 (1-V1+2z)<2x+9 2 2023年中山大学强基计划测试数学试题解析 1.分析：中学求和无非是等比等差类型或裂项类型的，本题不是 等差等比数列，所以尝试裂项求和 解：2然：]=品+引 根据取整特号的性质有：[]+[]=回 所以[0]-0]=[2+2]=]-2] 所以21=2婴1-21》=婴]-1= 2.分析：同余性质 解：因为23≡1(mod7) 所以23张≡1(mod7) 易知23k+1=2(mod7）,23+2=4(mod7) 总之2”≠-1(mod7),所以原命题成立 3.分析：降幂，和差化积 解：1+cos2x+1+c0s4x+2c0s23x=2 和差化积得：2c0sc0s3x+2c0s23x=0 再次和差化积c0sxC0s2xCOs3c=0 所以c0Sx=0或C0s2x=0或c0s3x=0 =2±受或标士年或2士若k∈2到 3 4.分析：分母有理化 解：易知1+2x≥0,1≠V1+2证，所以如≥-号且亚≠0 us=(2-<2z+0 2x 2x(W1+2x+1) [W1+2x-(W1+2z+ 、]2<2x+9 [21+2+1D]<2z+9 2x 所以（√1+2c+1)2<2x+9 化简得：2W1+2c<7,x<5 8 综上x∈[-2,0)u(0,5) 4