27.2.3： 切线 教案 2022-2023学年华东师大版九年级数学下册

27.2.3 切线 教案 课题 27.2.3 切线 单元 第27章 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 重点 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 难点 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 亲爱的同学们，上节课我们学习了直线与圆的位置关系，请同学们回忆一下？ 下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出。仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？ 这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况。 请同学们回忆一下，上节课我们学习了直线与圆的位置关系 欣赏图片，体会数学来于生活。这其中体现了平面内点与圆的位置关系。 让学生去发现存在的数学问题，体会数学来于生活，应用于生活；同时引出本节课题。这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况。 讲授新课 做一做 如图27.2.8，画一个圆O及半径OA，经过⊙O 的半径OA的外端点A画一条直线l垂直于这条半 径OA，这条直线与圆有几个公共点？ 从图27.2.8可以看出，对直线l上除点A外的任一 点P，必有OP＞OA，即点P位于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所以直线l是圆的切线!由此可得下 面判定切线的方法: 雨伞上的水珠就 是沿着切线方向向外飞出的。 切线的判定定理 ： 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 。 能说出过圆上任意一点画圆的切线的方法吗 ? 直线l是☉O的切线， 点 A 为切点 ， 那么半径OA与l垂直吗？ 由于l是☉O的切线， 圆心O到直线l 的距离等于半径，所以OA 是圆心O到直线l的距离，因此l⊥OA，有 ： 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 如图27.2.10，直线AB经过☉O 上的点A，且AB=OA，∠OBA=45° 求证：直线AB是☉O的切线。 证明：∵AB=OA，∠OBA=45° ∴ ∠AOB= ∠OBA=45° ∴ ∠OAB= 90° 又∵点A在圆上， ∴直线AB是☉O的切线（切线的判定定理 ） 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 探索 在纸上画出如图27.2.11的图形，沿着直线PO 将纸对折，由于直线PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴， 两半圆重合,PA与PB，∠APO与∠BPO 有什么关系 ？ 我们可以发现PA=PB，∠APO=∠BPO 切线长定理 ： 过圆外一点所画的圆的两条切线 ，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 。 已知 ： 如图27.2.11， PA 、PB为☉O 的两条切线，切点分别为 A、B ，求证：PA=PB，∠APO=∠BPO 如图27.2.13是一张三角形铁皮 ，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮？ 可能大家都会想到这样一个圆 ，它与三角形的三条边都相切 ， 那么这样的圆存在吗 ? 如果存在 ? 我们又如何 把它画出来呢 ？ 如图27.2.14，在 △ABC 中，如果有一个圆与 AB、AC、BC都相切，那么该圆的圆心到这三边的距离都等于半径，如何找到这个圆心呢？ 因为与 △ABC的边 AB、AC都相切的圆的圆心到边AB、AC的距离相等 ，所以圆心一定在 ∠BAC 的平分线上。 同理 ，和边 AB、BC都相切的圆的圆心一定在 ∠ABC的平分线上 。 设这两条角平分线的交点为 I， 则该点到三边的距离都相等 。 因此以I为圆心 、点I到 AB的距离为半径作圆 ， ☉ I必与 △ABC的三条边都相切。因为点 I 是唯一的 ， 所以I也是唯一的 。 与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆 ， 三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心 ， 这个三角形叫做这个圆的 外切三角形 ， 三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点 。 如图：已知PA是⊙O的切线，A为切点, AB是⊙O 的直径 , BC//OP交⊙O于点C。求证：PC与⊙O 相切。 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线。 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. 由于AB