专题2.7 立方根（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.7 立方根（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 【知识点2】立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【知识点3】立方根的性质 （1）； （2） （3） 第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【知识点3】立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【考点一】利用立方根的定义求立方根 【例1】1．求下列各数的立方根： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）-（4）根据立方根的定义求解即可； （1）解：∵， （2）解：∵， ∴； ∴； （3）解：∵， （4）解：∵， ∴； ∴的立方根是． 【点拨】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【举一反三】 【变式】求下列各式中的值． （1）； （2）． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． （1）解：∵， （2）解：∵ ∴ ∴ 或 ， 或； ． 【点拨】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求立方根和求平方根的方法解方程是解题的关键． 【考点二】利用立方根的定义求值 【例2】若一个正数的平方根分别是和，求的立方根． 【答案】 【分析】根据正数的平方根的性质列出方程求得，进而根据平方与平方根的关系求这个数，再根据立方根的定义进行计算即可． 解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴，解得：， ∴，则的立方根是， 或． 【点拨】此题主要考查了平方根的性质，立方根的定义，解题关键是根据题意列出方程． 【举一反三】 【变式1】已知正数x的两个不同的平方根是和，y的立方根是，求的值． 【答案】94 【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出方程，求出，即可求出x、y,代入求出即可． 解：∵正数x的两个平方根分别是和， ∴， 解得，， ∴， ∵y的立方根是， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平方根，立方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 【变式2】已知一个正数的两个不同的平方根分别是与． (1) 求a的值； (2) 求关于x的方程的解． 【答案】(1) ; (2) 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数列式求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可． （1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴， 解得：． （2）解：当时，，即， 解得：． 【点拨】本题主要考查了平方根的性质、立方根的定义等知识点，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【考点三】利用立方根的性质计算 【例3】计算： 【答案】 【分析】先化简平方根和立方根，再算加减即可． 解： ． 【点拨】本题主要考查了平方根和立方根的化简计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】计算：． 【答案】8 【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案． 解： =8 【点拨】本题主要考查了零指数幂以及立方根、负整数指数幂、绝对值，正确化简各数是解题关键． 【变式2】计算： 【答案】1.3 【分析】根据绝对值，算术平方根和立方根的概念求解即可． 解：原式 ． 【点拨】此题考查