专题2.3 平方根（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.3 平方根（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】算术平方根 1. 定义 一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, 2. 表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, 3. 性质： （1） 正数只有一个算术平方根，并且恒为正； （2） 0的算术平方根为0，即； （3） 负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 【知识点2】平方根 4. 定义 一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, 5. 表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, 6. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【知识点3】开平方 7. 定义 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； 8. （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 9. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【考点一】算术平方根➼➻求一个数的算术平方根 【例1】求以下各数的算术平方根：，，，． 【答案】，，， 【分析】根据求一个数的算术平方根求解即可．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根． 解 【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，理解算术平方根的定义是解题的关键． 【举一反三】 【变式】求以下各数的算术平方根：，，，，． 【答案】，，，， 【分析】根据算术平方根的定义求解即可．如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数x叫做a的算术平方根． 解：的算术平方根为：； 的算术平方根为：； 的算术平方根为：； 的算术平方根为：； 的算术平方根为：． 【点拨】此题考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数x叫做a的算术平方根． 【考点二】算术平方根➼➻非负性 【例2】已知x，y，z是有理数，且满足，求的值． 【答案】 【分析】根据数的平方，数的算术平方根和绝对值的非负性，可知，，都是非负数．结合，可得，，，从而可得答案． 解：根据数的平方，数的算术平方根和绝对值的非负性， 可知，，都是非负数． 又因为， 所以，，，解得，，， 所以． 【点拨】本题考查的是偶次方，算术平方根，绝对值的非负性的应用，求解代数式的值，理解非负数的含义是解本题的关键． 【举一反三】 【变式1】若，求m的算术平方根． 【答案】m的算术平方根为2． 【分析】根据算术平方根的非负性确定的值，进而求得的值，最后求得的算术平方根即可． 解：由题意得且， ∴且， ∴， ， ∵， ∴m的算术平方根为2． 【点拨】本题考查了算术平方根的非负性以及求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的相关性质是解题的关键． 【变式2】已知，求的值． 【答案】2022 【分析】根据算术平方根的非负性确定的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值． 解：∵， ∴． ∴， ∴原式化简为， ∴， ∴， 故． 【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定的范围化简绝对值是解题的关键． 【考点三】算术平方根➼➻整数部分与小数部分 【例3】设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根． 【答案】． 分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可． 解：因为4＜6＜9，所以2＜＜3， 即的整数部分是2， 所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2， 即x=4，y=-2，所以=． 考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根． 【举一反三】 【变式】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可； 解：∵的算术平方根是；的平方根是， ∴，， ∴，． ∵是的整数部分，， ∴． ∴． ∵的平方根是． ∴的平方根为． 【点拨】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 【考点四】算术平方根➼➻规律问题 【例4】探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． ．．． ．．．