专题2.1 认识无理数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.1 认识无理数（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】不是有理数的数（无理数的产生） 如图，用剪拼的方法将两个边长为1的小正方形拼成如图①②③的某个大正方形，若大正方形边长为a，由拼法可知=2. 我们利用夹逼法进行探索：拼成的面积为2的大正方形的面积夹在面积为1和面积为4的两个正方形的面各之间，它的边形必然在1和2之间，显然a不为整数。 又因为最简分数的平方仍为分数，若a为最简分数，则仍然是一个分数，也不等于2，所以a也不为分数。 从上面分析与推理，若 【知识点2】无理数的概念 1. 无理数的概念 无限不循环小数称为无理数，如圆周率≈3.14159265... ,1.010010001(相邻两个1之间0的个数依次增加1)等 2. 常见的无理的的几种类型 （1） 一般的无限不循环小数，如1.4142345...； （2） 有规律的不循环小数，如1.010010001(相邻两个1之间0的个数依次增加1)； （3） 含的一些数， 如5； （4） 开方开不尽的数， （5） 无理数与有理数的和， 如+4； （6） 无理数乘以或除以一个不为0的有理数，结果是无理数，如. 【考点一】无理数➼➻无理数的产生与证明 【例1】证明：中x不是有理数． 【分析】假设x是有理数，则x可以表示为（均为整数且互质），从而可得，由此判断出是偶数，再设（为整数），从而可得，由此判断出是偶数，据此得出假设不成立，即可得证． 证明：假设x是有理数， 故x可以表示为（均为整数且互质）， 则， 因为是偶数， 所以是偶数， 所以是偶数， 设（为整数）， 则，即， 所以也是偶数，这和互质矛盾． 所以假设不成立，x是无理数． 【点拨】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题关键． 【举一反三】 【变式】设a是有理数，x是无理数，证明：是无理数，且当时，是无理数． 【分析】根据有理数的和差积商仍为有理数证明即可． 解：假设是有理数，则也是有理数，这与题中“是无理数”矛盾，所以是无理数． 同理假设是有理数，也是有理数，这与题中“是无理数”矛盾，所以是无理数． 【点拨】本题考查了用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点． 【考点二】无理数➼➻无理数的概念 【例2】把下列各数的序号填入相应的横线内： ①，②＋8，③20%，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（每两个“1”之间依次多一个“3”）． 整数：{          }； 负分数：{          }； 无理数：{          }． 【答案】整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨ 【分析】先化简多重符号及绝对值，然后根据有理数及无理数的定义求解即可． 解：，， 整数：＋8，0，； 负分数：，； 无理数：，（每两个“1”之间依次多一个“3”）． 故答案为：整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨． 【点拨】题目主要考查数的分类及化简，熟练掌握数的分类是解题关键． 【举一反三】 【变式1】把下列各数分别填入相应的大括号内：，，，，，，，，，． 整数集合{___________…}； 正分数集合{___________…}； 非正数集合{___________…}； 无理数集合{___________…}． 【分析】根据各自的定义：整数（正整数、零和负整数）；无理数（无限不循环的小数），即可求解． 解：负整数；是小数也是分数；是负数，也是小数；是无理数；是整数；是分数；是小数也是分数；是带分数，也是负数；是正整数，是循环小数，也是有理数；即有： 整数集合：{，，，}； 正分数集合：{，，，，}； 非正数集合：{，，，，}； 无理数集合：{，}． 【点拨】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、无理数、非正数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．正分数是首先是分数，即是有理数，再是正数． 【变式2】把下列各数的序号填入相应的集合里. ，，，，， ， ， 正数集合：{___________…}； 整数集合：{___________…}； 负分数集合：{___________…}； 无理数集合：{___________…}. 【答案】；；； 【分析】根据有理数及无理数的分类解答即可． 解：，，， 正数集合：{…}； 整数集合：{…}； 负分数集合：{…}； 无理数集合：{…}. 故答案为：；；； 【点拨】本题考查了有理数及无理数的分类，解决本题的关键是熟练掌握有理数及无理数的分类方法． 【考点三】无理数➼➻勾股定理与无理数 【例3】500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来