专题1.13 勾股定理（全章复习与巩固）（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.13 勾股定理（全章复习与巩固）（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】勾股定理 1. 勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：） 2. 勾股定理的应用 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边的平方.（即：） 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； 【知识点2】勾股定理的判定 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 【知识点3】勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 【考点一】已知任意两边，求直角三角形的第三边长 【例1】在中，，、、的边分别为a、b、c． （1）若，，求a，b的值． （2）若，，求a的值． 【答案】(1)，；(2)30 【分析】（1）设，则，再根据勾股定理求出的值，进而可得出结论． （2）根据勾股定理可得，，的数量关系，再把已知条件代入即可求出的值． （1）解：中，，、、的对边分别为、、，且， 设，则． ，即， 解得（负值舍去）， ，； （2）中，，，，的对边分别为，，， ， ，， ， 解得：． 【点拨】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 【举一反三】 【变式】在中，， （1）求的长； （2）求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）直接利用勾股定理求得的长；（2）根据三角形的面积公式求得即可． （1）解：在中，，， ； （2）， ∴， ． 【点拨】此题考查了勾股定理及直角三角形面积的不同表示方法，关键是得到斜边的长． 【考点二】已知三角形三边长，判断三角形的形状 【例2】如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm． （1）判断△BCD的形状，并说明理由； （2）求△ABC的周长． 【答案】(1)△BDC为直角三角形，理由见分析；(2)△ABC的周长为=cm． 【分析】（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形； （2）由此可求出AC的长，周长即可求出． （1）解：△BDC为直角三角形，理由如下， ∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm， 而102=62+82， ∴BC2=BD2+CD2． ∴△BDC为直角三角形； （2）解：设AB=xcm， ∵等腰△ABC， ∴AB=AC=x，则AD=x-6， ∵AB2=AD2+BD2， 即x2=（x-6）2+82， ∴x=， ∴△ABC的周长=2AB+BC=（cm）． 【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用解答． 【举一反三】 【变式】如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AB、BC、AC，再根据勾股定理的逆定理计算可得出结论． 解：由题意得：， ，， ∵， ∴， ∴∠BAC＝90°， ∴为直角三角形． 故选：B． 【点拨】本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键． 【考点三】勾股（树）数 【例3】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25）等． (1) 根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组； (2) 用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明． 【答案】(1) ； (2) ，证明见分析 【分析】（1）根据前三