4.3 全等三角形 辅助线专题（截长补短） 2022-2023学年北师大版七年级数学下册

北师版数学七下全等三角形辅助线专题（截长补短） 1．如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，BD平分∠ABC． 求证：∠BAD+∠C＝180°． 【解答】证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， 在△ABD和△EBD中 ， ∴△ABD≌△EBD（SAS）， ∴∠A＝∠BED，AD＝DE， ∵AD＝DC， ∴DE＝DC， ∴∠C＝∠DEC， ∵∠BED+∠DEC＝∠A+∠DEC＝∠A+∠C＝180°， 即∠BAD+∠C＝180°． 2．已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC． 【解答】证明： 如图，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F， ∵DE⊥BC，BD平分∠ABC， ∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°， ∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°， ∴∠DAF＝∠C， 在△ADF和△CDE中 ∴△ADF≌△CDE（AAS）， ∴AD＝CD． 3．已知如图：∠ABP＝∠CBP，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠BAP+∠BCP＝180°，求证：AB+BC＝2BD． 【解答】解：过点P作PM⊥AB，垂足为点M， ∵PM⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP， ∴PM＝PD，BM＝BD， ∵∠BAP+∠BCP＝180°，且∠BAP+∠MAP＝180°， ∴∠PAM＝∠BCP， 在△PAM和△PCD中， ， ∴△PAM≌△PCD， ∴AM＝CD， ∴BM﹣AB＝BC﹣BD， ∴BD﹣AB＝BC﹣BD， ∴AB+BC＝2BD． 4．如图，在△ABC中，点D为边AC上一点，连接BD，延长BD至点E，使得BE＝AC，连接CE． （1）如图1，若AC＝BC，∠A＝80°，∠EBC＝44°，求∠ECD的度数； （2）如图2，∠ECB的角平分线CF交BE于点F．若BD＝CD，∠A＝2∠DBC，求证：BC＝AB+EF． 【解答】（1）解：∵AC＝BC，∠A＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣80°﹣80°＝20°， ∵BE＝AC，BC＝AC， ∴BE＝BC， ∵∠EBC＝44°， ∴∠BCE＝， ∴∠ECD＝68°﹣20°＝48°； 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）证明：在BC上取一点G，使CG＝CF，如图2， ∵CF是∠ECB的平分线， ∴∠ECF＝∠GCF， 在△ECF和△GCF中， ∴△ECF≌△GCF（SAS）， ∴EF＝CG，∠E＝∠FGC， ∵BE＝AC，BD＝CD， ∴AD＝DE， 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝EC，∠A＝∠E， ∴∠A＝∠FGC， ∵∠A＝2∠DBC， ∴∠FGC＝2∠DBC， 又∵∠FGC＝∠DBC+∠GFB， ∴∠DBC＝∠GFB， ∴FG＝BG， ∵BC＝CG+BG， ∴BC＝CE+FG， ∴BC＝AB+EF． 5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB． 求证：CD+AB＝AD． 【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵∠B＝90°，AE平分∠DAB， ∴BE＝EF， 在Rt△EFA和Rt△EBA中， ， ∴Rt△EFA和≌Rt△EBA（HL）． ∴AF＝AB， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝EF， 在Rt△EFD和Rt△ECD中， ， ∴Rt△EFD和≌Rt△ECD（HL）． ∴DF＝CD， ∴CD+AB＝DF+AF＝AD， ∴CD+AB＝AD． 6．已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D＝180°，求证：AE＝AD+BE． 【解答】证明：在AE上截取AM＝AD，连接CM， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， 在△AMC和△ADC中， ∴△AMC≌△ADC（SAS）， ∴∠3＝∠D， ∵∠B+∠D＝180°，∠3+∠4＝180°， ∴∠4＝∠B， ∴CM＝CB， ∵CE⊥AB， ∴ME＝EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合）， ∵AE＝AM+ME， ∴AE＝AD+BE． 7．如图，△ABC与△EDC都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接A