4.3 全等三角形 辅助线专题（倍长中线） 2022--2023学年北师大版七年级数学下册

北师版数学七下全等三角形辅助线专题（倍长中线）（解析） 1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【解答】解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接EC， ∵AD是边BC上的中线， ∴CD＝BD， ∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ADB≌△△EDC（SAS）， ∴AB＝EC＝6， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE， ∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7， 故选：C． 2．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝4，AC＝2，则AD的取值范围是（　　） A．1＜AD＜3 B．2＜AD＜4 C．2＜AD＜6 D．2＜AD＜3 【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB， ∵AB＝4，AC＝2， ∴4﹣2＜AE＜4+2，即2＜AE＜6， ∴1＜AD＜3． 故选：A． 3．（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　2＜AD＜11　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长． （3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF． 【解答】（1）解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝9， ∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴4＜AE＜22 ∴2＜AD＜11， 故答案为：2＜AD＜11． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2， ∵AD是△ABC中线， ∴BD＝DC， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵∠AFE＝∠AEF， ∴AE＝EF＝4， ∴AC＝AE+CE＝7， ∴BM＝AC＝7， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即AC＝BF＝7； （3）证明：如图3，延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF， ∵D是BC边上的中点， ∴CD＝BD， 在△CDG和△BDE中， ， ∴△CDG≌△BDE（SAS）， ∴CG＝BE， ∵CG+CF＞GF， ∴BE+CF＞GF， ∵DE⊥DF，GD＝ED， ∴DF垂直平分EG， ∴GF＝EF， ∴BE+CF＞EF． 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，则∠E＝　36°　． 【解答】解：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM， ∴∠BMD＝∠AMC，BM＝AM， 在△BMD和△AMC中， ， ∴△BMD≌△AMC（SAS）， 延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．如图所示： ∵△BMD≌△AMC ∴BD＝AC， 又∵CE＝AC， ∴BD＝CE， 在△BFG和△CFE中， ， ∴△BFG≌△CFE（SAS）， ∴BG＝CE，∠G＝∠CEF， ∴BD＝CE＝BG， ∴∠BDF＝∠G＝∠CEF． ∴∠BDF＝∠CEF， ∴∠E＝36°． 故答案为：36°． 5．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数． 【解答】解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取