21.2.3 因式分解法讲义2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级上册第二十一章 21.2降次——解一元二次方程讲义 21.2.3 因式分解法 层级要求： ④掌握四种解一元二次方程的方法的适用情形。 掌握 ③掌握运用因式分解法解一元二次方程． 理解 ②理解用因式分解法解一元二次方程的依据和“降次”转化的数学思想方法。 认识 ①了解用因式分解解一元二次方程的概念 。 基础知识详解 知识点 用因式分解法解一元二次方程 出题角度1 用因式分解法解一元二次方程 例1.用因式分解解下列方程：千万记住： 方程的两边不能轻易除以含有未知数的公因式，因为这样会使方程失根，而是要利用因式分解法中的提公因式法求解. （1）（2x﹣1）（3x+4）=2x﹣1； （2）3（x﹣3）=（x﹣3）2； （3）（2x+3）2=24x； （4）1.2x﹣0.04=9x2． 分析：各方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 解：（1）方程变形得：（2x﹣1）（3x+4）﹣（2x﹣1）=0， 分解因式得：（2x﹣1）（3x+4﹣1）=0，解得：x1=，x2=﹣1； （2）方程变形得：3（x﹣3）﹣（x﹣3）2=0， 分解因式得：（x﹣3）（3﹣x+3）=0，解得：x1=0，x2=3； （3）方程整理得：4x2﹣12x+9=0，即（2x﹣3）2=0，解得：x1=x2=1.5； （4）方程变形得：900x2﹣120x+4=0，即（30x﹣2）2=0，解得：x1=x2=． 变式练习1. 用因式分解法解一元二次方程： （1）5（x2﹣x）=3（x2+x）； （2）（x﹣2）2=（2x+3）2． 出题角度2 用不同的方法解一元二次方程 例2.（2023·广东广州）解方程：. 分析：可以运用配方法、求根公式法和因式分解法等三种方法求解． 解：方法一（配方法）：将方程 变形为： 配方， 整理，得 解得， 方法二（求根公式法）：因为a=1,b=-10,c=9 由求根公式解得， 方法三（因式分解法）：将方程 变形为： 解得， 点拨：解一元二次方程通常就是四种方法，即直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松． 变式练习2.用不同的方法解方程x2+8x﹣9=0 思维误区诊断 误区一 用因式分解法解一元二次方程时，没有把方程化为一般形式 例1. 用因式分解法解一元二次方程： 错解：或， 所以. 正解：原方程变形为：， 所以，所以. 错因分析：没有将方程化为一般形式。 误区二 方程的两边除以含有未知数的公因式，导致失根 例2. 解方程 错解：方程两边同时除以，得 ，所以. 正解：原方程变形为， 所以，所以 错因分析：方程的两边轻易除以含有未知数的公因式，因而使方程失根。而是要利用因式分解法中的提公因式法求解. 综合展示舞台 学霸笔记展示 因式分解法：提公因式法，完全平方公式，平方差公式，十字相乘法 如： 此类方程适合用提公因式法，而且其中一个根为0 例1. 用因式分解法解方程：5（x2﹣x）=3（x2+x）． 分析： 整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 解：整理得：2x2﹣8x=0，2x（x﹣4）=0，2x=0，x﹣4=0，x1=0，x2=4． 点拨： 本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中． 例2.已知9a2-4b2=0，求代数式的值． 分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误． 解：原式= ∵9a2-4b2=0， ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 ，3a+2b=0或3a-2b=0，a=-b或a=b， 当a=-b时，原式=-=3， 当a=b时，原式=-3． 例3.下表中方程1、2、3是按照一定规律排列的方程，解方程3，并将它的解填在表中的空白处． 序号 方程 方程的解 1 x2﹣2x﹣3=0 x1=﹣1，x2=3 2 x2﹣4x﹣12=0 x1=﹣2，x2=6 3 x2﹣6x﹣27=0 x1=　 　，x2= 　 用你探究的规律，解下列方程x2+102x﹣36•18=0． 分析：先利用因